Réponse :
Montrer:
∀n ∈ N , ∀x ∈ R
soit x ∈ R
Pour tout entier naturel n; on note P(n) : |sin (nx)| ≤ n|sin x|
1) Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
pour n = 0 |sin(0 * x)| = 0 et 0 * |sin x| = 0 ⇒ 0 ≤ 0 donc P(0) est
vraie
2) Hérédité : soit un entier naturel n; supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire il faut montrer que
|sin (n+ 1)x| ≤ (n+ 1)|sin x|
|sin (n+ 1)x| = |sin (n x + x)|
= |sin(nx)cosx + sinxcos(nx)|
on a utilisé sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa
|sin (n+ 1)x| ≤ |sin(nx)cosx| + |sinxcos(nx)| on a utilisé l'inégalité triangulaire |a+b| ≤ |a|+|b|
≤ |sin(nx)| |cosx| + |sinx| |cos(nx)| |ab| = |a| * |b|
sachant que - 1 ≤ cos (x) ≤ 1 et |cos(x)| ≤ 1
≤ |sin(nx)| + |sin (x)|
≤ n|sin x| + |sin x| hypothèse de récurrence
≤ (n + 1)|sinx| donc P(n+1) est vraie
3) conclusion
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0, donc par récurrence pour tout entier naturel n, P(n) est vraie
Explications étape par étape :
