Bonsoir,
On note la proposition Pₙ : |sin(nx)| ≤ n |sin(x)|
P(0) est vraie puisque | sin(0x) | = 0 * | sin(x) | = 0
Soit n un entier
On suppose que Pₙ est vraie. On a donc:
| sin(nx) | ≤ n | sin(x) |
Or | sin((n+1) x) | = | sin(nx + x) | = | sin(nx) cos(x) + cos(nx) sin(x) |
⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx) cos(x) | + | cos(nx) sin(x) |
⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx)| . | cos(x) | + | cos(nx) | . | sin(x) |
⇒ | sin((n+1) x) | ≤ | sin(nx)| + | sin(x) | puisque | cos(kx) | ≤ 1 pour tout k dans IN.
⇒ | sin((n+1) x) | ≤ n | sin(x)| + | sin(x) | d'après l'hypothèse de récurrence.
⇒ | sin((n+1) x) | ≤ (n + 1) | sin(x) |
Pₙ₊₁ est donc vraie
Nous avons ainsi démontré par récurrence que Pₙ est vraie pour tout n dans IN
Réponse :
Montrer:
∀n ∈ N , ∀x ∈ R
soit x ∈ R
Pour tout entier naturel n; on note P(n) : |sin (nx)| ≤ n|sin x|
1) Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
pour n = 0 |sin(0 * x)| = 0 et 0 * |sin x| = 0 ⇒ 0 ≤ 0 donc P(0) est
vraie
2) Hérédité : soit un entier naturel n; supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire il faut montrer que
|sin (n+ 1)x| ≤ (n+ 1)|sin x|
|sin (n+ 1)x| = |sin (n x + x)|
= |sin(nx)cosx + sinxcos(nx)|
on a utilisé sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa
|sin (n+ 1)x| ≤ |sin(nx)cosx| + |sinxcos(nx)| on a utilisé l'inégalité triangulaire |a+b| ≤ |a|+|b|
≤ |sin(nx)| |cosx| + |sinx| |cos(nx)| |ab| = |a| * |b|
sachant que - 1 ≤ cos (x) ≤ 1 et |cos(x)| ≤ 1
≤ |sin(nx)| + |sin (x)|
≤ n|sin x| + |sin x| hypothèse de récurrence
≤ (n + 1)|sinx| donc P(n+1) est vraie
3) conclusion
P(0) est vraie et P(n) est héréditaire à partir du rang 0, donc par récurrence pour tout entier naturel n, P(n) est vraie
Explications étape par étape :