Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Remarque préliminaire:
L'arrêt de 30 min peut se faire à n'importe quel moment
compris entre l'heure de départ et l'heure de croisement.
(penser au problème sur pont reliant deux villes séparées une rivière pour minimiser le coût de construction)
Soient
T la durée du trajet des trains.
v_1 la vitesse du train allant de Douala vers Edéa
v_2 la vitesse du train allant d'Edéa vers Douala
t le temps que roule le train 1 avant le croisement.
- Première solution: on utilise Geogébra.
on place un curseur durée de 0 à 2 heures par incrément de 0.01.
on place les points
E (0,60), D(durée,60),
T(durée,0), O(0,0),
Depart(0.5,0), Min4(4/60,0) - Le trajet du train 2 est [ET] celui du train 1 est [départ D]
- Ces 2 trajet s'intersectent en A
- Sur la parallèle au trajet 1 passant par l'origine O, on marque
- le point H d'ordonnée 20 (km).
- On trace le parallélogramme O Départ B H.
- A_4m est le point de [A Départ] situé à 4 min de A.
- On va faire varier durée pour que B coïncide avec A_4min
- (
- ==> durée=1.5 (heure))
- Deuxième solution: on prend son courage à deux mains et on résout le système d'équations.
[tex]V_2=\dfrac{60}{T} \\\\V_1=\dfrac{120}{2T-1}\\\\t=\dfrac{20}{V_1}+\dfrac{4}{60}=\dfrac{V_1+300}{15*V_1}\\\\=\dfrac{300+\dfrac{120}{2T-1}}{15}=\dfrac{600T-300+120}{15*120}=\dfrac{40T-12}{120}\\\\\\\boxed{t=\dfrac{10T-3 }{ 30}}\\\\[/tex]
[tex]d_1=V_1*t=\dfrac{120}{2T-1}*\dfrac{10T-3}{30}\\\\=\dfrac{4*(10T-3)}{2T-1} \\\\d_2=V_2*(t+\dfrac{1}{2} )=\dfrac{60}{T} *\dfrac{2t+1}{2} \\\\=\dfrac{4*(5T+6)}{T} \\\\\\d_1+d_2=60\\\\\dfrac{4*(10T-3)}{2T-1} +\dfrac{4*(5T+6)}{T} =60\\\\10T^2-19T+6=0\ (T\neq 0\ et\ T\neq \frac{1}{2} )\\\\\Delta=19^2-4*10*6=121=11^2\\\\T=\dfrac{19+11}{20} \ ou \ T=\dfrac{19-11}{20} \\\\\boxed{T=\dfrac{3}{2} \ ou\ T=\dfrac{2}{5}}[/tex]
[tex]\begin{array}{ccccccc|c}T&V_1&V_2&t&d_1&d_2&d_1+d_2&\\&&&&&&&\\1.5&60&40&0.4&24&36&60&\\2/5&-600&150&1/30 & -20&80&60& \`a\ rejeter.&&&&&&&\\\end {array}[/tex]
