Bonjour !
2)
[tex]P(x)- {x}^{2} + 6x - 9 < 0[/tex]
On calcule le discriminant.
[tex]\Delta {b}^{2} - 4ac \\ \Delta = {6}^{2} - 4 \times ( - 1) \times ( - 9) \\\Delta = 36 - 36 = 0[/tex]
∆=0 donc l'équation P(x)=0 admet une solution donnée par [tex]x = \frac{ - b}{2a} = \frac{ - 6}{2 \times ( - 1)} = 3[/tex].
Comme ∆=0, le trinôme est du signe de a.
Le trinôme est inférieure à 0 (mais pas strictement inférieur, il est égal à 0 pour x=3).
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3)
Prenons un exemple :
[tex] {x}^{2} + x - 2 = 0[/tex]
[tex]\Delta = {1}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 2) \\ = 1 + 8 \\ = 9[/tex]
Il admet deux solutions réelles.
[tex]x_1= \frac{ - 1 + \sqrt{9} }{2 \times 1} \\ = \frac{ - 1 + 3}{2} \\ = 1[/tex]
[tex]x_2= \frac{ - 1 - \sqrt{9} }{2 \times 1} \\ = \frac{ - 4}{2} \\ = - 2[/tex]
Maintenant, multiplions les coefficients.
[tex]2 {x}^{2} + 2x + 4 = 0[/tex]
On remarque déjà que dans ce cas, les solutions seront les mêmes (car on peut à nouveau diviser par 2).
On peut la résoudre quand même pour vérifier.
[tex]\Delta = {2}^{2} - 4 \times 2 \times ( - 4) = 36[/tex]
[tex]x_1= \frac{ - 2 + \sqrt{36} }{2 \times 2} = 1[/tex]
[tex]x_2= \frac{ - 2 - \sqrt{36} }{2 \times 2} = - 2[/tex]
On remarque que les solutions sont les mêmes.
L'affirmation est donc fausse (dans ce cas, les solutions sont les mêmes, mais dans d'autres cas, elles seront différentes, etc...).
Bonne soirée
