bonjour
L'orthocentre du triangle ABC est le point de concours des hauteurs de ce triangle
• soit (d) la hauteur passant par B et M(x : y) un point du plan
M(x ; y) ∈ (d) <=> vect BM • vect AC = 0 (produit scalaire nul)
B(2 ; -3) ; M(x ; y)
coordonnées vect BM : (x - 2 ; y - (-3) )
(x - 2 ; y + 3)
A(-4 ; 0) ; C(0 ; 3)
coordonnées vect AC : (0 - (-4) ; 3 - 0)
(4 ; 3)
équation (d) :
vect BM • vect AC = 0 <=> (x - 2)*4 + (y + 3)*3 = 0 [ XX' + YY' = 0 ]
<=> 4x - 8 + 3y + 9 = 0
<=> 4x + 3y + 1 = 0 (1)
• soit (d') la hauteur passant par A et M(x : y) un point du plan
M(x ; y) ∈ (d') <=> vect AM • vect BC = 0
M(x ; y) et A(-4 ; 0)
vect AM ( -4 - x ; 0 - y)
( -x - 4 ; -y)
B(2 ; -3 ) et C(0 ; 3)
vect (BC) (0 - 2 ; 3 - (-3) )
(-2 ; 6)
équation de (d')
vect AM • vect BC = 0 <=> -2(-x - 4) + (-y)*6 = 0
<=> 2x + 8 - 6y = 0
<=> 2x - 6y + 8 = 0
<=>
le couple des coordonnées de H, orthocentre du triangle ABC, est
la solution du système (1) et (2)
4x + 3y + 1 = 0 (1)
x - 3y + 4 = 0 (2)
par addition membre à membre
5x + 5 = 0
x + 1 = 0
x = - 1
calcul de y dans (2)
-1 -3y + 4 = 0
3 = 3y
y = 1
réponse : H(-1 ; 1)
