Sagot :

jpmorin3

bonjour

(1)   (x/y) -1 ≥ 1 - (y/x)    <=>  

(x/y) + (y/x) ≥ 2       <=>    (1er membre dénominateur commun xy)

(x²/yx) + (y²/xy) ≥ 2  <=>

(x² + y²)/xy ≥ 2        <=>        on multiplie les deux membres par xy > 0  

x² + y² ≥ 2xy          <=>

x² -2xy + y² ≥ 0       <=>

(x - y)² ≥ 0   (2)                    

(x - y)² est un carré donc toujours positif (nul pour x = y)

(2) est équivalent à (1)

(2) est toujours vrai, il en est de même de (1)

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

x, y strictement positifs

On pose a=x/y >0

[tex](a-1)^2\geq 0\\\\\Longrightarrow\ a^2-2a+1\geq 0\\\\\Longrightarrow\ a-2+\dfrac{1}{a} \geq 0\\\\\\\Longrightarrow\ a-1 \geq 1-\dfrac{1}{a}\\\\\\\Longrightarrow\ \boxed{\dfrac{x}{y}-1 \geq 1-\dfrac{y}{x} }[/tex]