Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape :
dans l'énoncé, la charpente est symétrique par rapport à la poutre [CD]
sur la figure cela veut dire que :
[CD] est l'axe de symétrie du triangle ABC donc on en déduit que :
Le triangle ABC est un triangle isocèle en C
Le segment [CD] est a la fois hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice
du segment [AB] dans le triangle ABC
Ainsi on a donc :
AB = 9 m
et D milieu [AB] et on a donc AD = DB = 4,5 cm
On constate que :
AH = HE = ED = DF = FG = GB = 9/6 = 1,5 m
On sait aussi que l'angle DAC = 25°
A partir de ces précisions, on va répondre aux différentes affirmations
1) La hauteur CD mesure 2,10 m
dans le triangle ACD rectangle en D, on a
AD = 4,5 m et angle DAC= 25°
D'après la formule de la tangente d'un angle, on sait que :
tan(angle) = coté opposé / coté adjacent
Dans le triangle ACD rectangle en D, on a
angle DAC = 25°
coté opposé = CD
coté adjacent = AD = 4,5 m
on a donc
tan(angle DAC) = CD/AD
On cherche CD
donc CD = AD × tan(angle DAC)
or
angle DAC = 25° et AD = 4,5 m
donc application numérique
CD = tan (25°) × 4,5
CD ≈ 2,10 m arrondi au centième près
2) La longueur AC = 4,97m
Dans le triangle DAC rectangle en D, on sait que
AD = 4,5 m et CD = 2,1 m
D'après le théorème de Pythagore, on a
DA² + CD² = AC²
or AD = 4,5 m et CD = 2,1 m
donc application numérique
AC² = 4,5² + 2,1²
AC² = 20,25 + 4,41
AC² = 24,66
AC = √24,66
AC ≈ 4,97 m arrondi au centième près
3) La longueur DI = 1,40 m
On sait d'après l'énoncé que les droites (HI) et (AC) sont parallèles
On sait aussi que DH =3m et DA = 4,5 m et DC = 2,10 m
Dans les triangles DCA et DIH, le points D,I,C et D,H,A sont alignés
D'après le théorème de Thalès, on a
DC/DI = CA/HI = AD/DH
or DH =3m et DA = 4,5 m et DC = 2,10 m
donc application numérique
2,1/DI = 4,5/3 = 1,5
on cherche DI
DI = 2,1/1,5
DI = 1,40 m
4) La longueur HI = 3,31 m
Dans le triangle DHI rectangle en H, on a
HD = 3 m et DI = 1,40 m
D'après le théorème de Pythagore, on a
HD² + DI² = HI²
or HD = 3 m et DI = 1,40 m
donc application numérique
HI² = 3² + 1,4²
HI² = 9 + 1,96
HI² = 10,96
HI = √10,96
HI ≈ 3,31 m arrondi au centième près
5) La longueur JD = 1,27 m sans utiliser la trigonométrie
Dans le triangle DHI rectangle en H, JD est la hauteur de ce triangle
de la base HI = 3,31 m
donc on a A = JD × HI/2
on cherche JD
donc JD = 2 × A/HI
on sait que l'aire d'un triangle est : A = b × h /2
or la base b du triangle DHI est HI et la hauteur h est JD
l'aire du triangle DIH est A = 1,4 × 3/2 = 4,2/2 = 2,1 m²
donc application numérique
JD = 2 × 2,1/3,31
JD ≈ 1,27 m arrondi au centième près
