Réponse :
f(x) = (- 3 x + 7)/(x - 2) et g(x) = x² - 4 x + 1
1) déterminer l'ensemble de définition des fonctions f et g
f est définie pour x - 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 ⇔ Df = R \ {2}
g est une fonction polynôme du second degré est définie sur R
2) dresser les tableaux de variations des fonctions f et g
f(x) = (- 3 x + 7)/(x - 2)
f est une fonction quotient dérivable sur Df et sa dérivée f ' est :
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = - 3 x + 7 ⇒ u'(x) = - 3
v(x) = x - 2 ⇒ v'(x) = 1
f '(x) = (- 3(x - 2) - (- 3 x + 7))/(x - 2)²
= (- 3 x + 6 + 3 x - 7)/(x - 2)²
f '(x) = - 1/(x - 2)² or (x - 2)² > 0 et - 1 < 0 donc f '(x) < 0 ⇒ f est décroissante sur Df
tableau de variation de f
x - ∞ 2 + ∞
f (x) - 3→→→→→→→→→→ - ∞ || + ∞ →→→→→→→→→ - 3
décroissante décroissante
g(x) = x² - 4 x + 1
g est une fonction polynôme dérivable sur Dg = R et sa dérivée g ' est :
g '(x) = 2 x - 4
x - ∞ 2 + ∞
g '(x) - 0 +
variations + ∞ →→→→→→→ - 3 →→→→→→→→→ + ∞
de g(x) décroissante croissante
3) a) déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Cf)
la courbe (Cf) est une hyperbole décroissante ayant 2 asymptotes
x = 2 (asymptote verticale et y = - 3 (asymptote horizontale)
b) la courbe (Cg) est une parabole tournée vers le haut caractérisée par son sommet de coordonnées (2 ; - 3) et son équation d'axe de symétrie x = 2
4) déterminer l'intersection de (Cf) et (Cg) avec les axes du repère
l'intersection de (Cf) avec l'axe des abscisses : f(x) = (- 3 x + 7)/(x - 2) = 0
⇔ - 3 x + 7 = 0 ⇔ x = 7/3 ⇒ (7/3 ; 0)
l'intersection de (Cf) avec l'axe des ordonnées : f(0) = (- 3 *0 + 7)/(0 - 2) = - 7/2 ⇒ (0 ; - 7/2)
l'intersection de (Cg) avec l'axe des abscisses :
g(x) = 0 ⇔ x² - 4 x + 1 = 0
Δ = 16 - 4 = 12 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = 4+2√3)/2 = 2+√3 ⇒ (2+√3 ; 0)
x2 = 4 - 2√3)/2 = 2 - √3 ⇒ (2-√3 ; 0)
l'intersection de (Cg) avec l'axe des ordonnées ⇒ g(0) = 1 ⇒ (0 ; 1)
5) déterminer l'intersection de (Cf) et (Cg)
f(x) = g(x) ⇔ (- 3 x + 7)/(x - 2) = x² - 4 x + 1
tu continue la résolution de cette équation sachant x = 2 est une valeur interdite
Explications étape par étape :
