Bonsoir,
Le constructeur dispose de 450 unités de caoutchouc et 550 unités d'acier.
On note x le nombre de grandes voitures.
On note que 0 ≤ x ≤ 550/2 soit 0 ≤ x ≤ 225
Pour fabriquer x grandes voitures, on consomme 2x unités d'acier et x unités de caoutchouc.
Il reste donc 450 - x unités de caoutchouc et 550 - 2x unités d'acier pour les petites voitures,
On note que les fonctions x → 450 - x et x → 550 - 2x sont toutes les deux décroissantes et se coupent au point (100 ; 350)
Bien entendu, on obtient ce résultat en résolvant l'équation
450 - x = 550 - 2x ⇔ 2x - x = 550 - 450
L'élément limitant est donc le caoutchouc jusqu'à 100 grandes voitures. Au delà, c'est le nombre d'unités d'acier qui va limiter le nombre de petites voitures.
Pour 0 ≤ x ≤ 100, le nombre d'unités de caoutchouc disponibles pour les petites voitures est donné par la formule 450 - x
Dans ce cas, le prix total de vente (en 1000 Euros ) est:
P(x) = 18x + 11 (450 - x) = 7x + 4 950
Il s'agit d'une fonction affine de coefficient directeur positif. Elle est par conséquent croissante et son maximum sur [1 ; 100] est atteint pour x = 100 soit P(100) = 5 650
Pour 100 ≤ x ≤ 225, c'est l'acier qui détermine le nombre de petites voitures et le nombre d'unités disponibles pour les petites voitures est donné par la formule 550 - 2x
Dans ce cas, le prix total de vente (en 1000 Euros ) est:
P(x) = 18x + 11 (550 - 2x) = 6 050 - 4x
Cette fois la fonction affine est décroissante. Le maximum est donc atteint en x = 100 et on a P(100) = 5 650
Conclusion:
Afin de maximiser son chiffre d’affaire, le constructeur doit fabriquer 100 grandes voitures et 350 petites voitures.
