Bonjour,
1)a) la fonction f représente la vitesse de l'objet, on veut savoir a partir de quel instant t0 cette vitesse dépasse 20m/s, on doit donc résoudre l'inéquation suivante :
[tex]f(t) > 20[/tex]
On a donc
[tex]25(1-e^{-t^2}) > 20\\ \Leftrightarrow 1-e^{-t^2} > \frac{20}{25} \\\Leftrightarrow -e^{-t^2} > \frac{20}{25} -1 \\\Leftrightarrow e^{-t^2} < \frac{5}{25} \\\Leftrightarrow -t^2 < ln(5) - ln(25) \\ \Leftrightarrow t^2 > ln(25) - ln(5) \\\Leftrightarrow t > \sqrt{ ln(25) - ln(5)}[/tex]
Donc [tex]t0 \simeq1,3 \ m/s[/tex]
1)b) On cherche
[tex]\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} f(t) = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} 25(1-e^{-t^2})[/tex]
On pose [tex]X = -t^2[/tex]
Alors
[tex]\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} X = \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} -t^2 = -\infty[/tex]
d'où par composition de limite
[tex]\lim\limits_{t \rightarrow -\infty} 25(1-e^X) = 25(1-0)= 25[/tex]
On en déduit que la courbe de f admet une asymptote horizontale en [tex]+ \infty[/tex] d'équation [tex]y = 25[/tex].
2) On cherche la dérivée de f :
[tex]f'(x) = -2t*(-25)e^{-t^2} = 50te^{-t^2}[/tex]
L'exponentielle est toujours positive sur son domaine de définition et [tex]t \rightarrow 50t[/tex] est positive sur [tex][0;+\infty[[/tex] donc [tex]f'[/tex] est positive sur ce même intervalle par multiplication de fonction positive.
On en déduit que [tex]f[/tex] est croissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].
3) La tangente à pour équation
[tex]T : y = f(0) + f'(0)(x-0) \Leftrightarrow T : y = 0[/tex]
Cordialement,
RH