Réponse :
f(x) = x³ + x² - 5 x définie sur R
1) déterminer la dérivée f ' de f
f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = 3 x² + 2 x - 5
2) en déduire les variations de f (on établira le tableau de variations)
tout d'abord il faut chercher le signe de f '
Δ = 2² - 4*3*(-5) = 64 ⇒ Δ > 0 donc on a 2 racines distinctes
x1 = - 2 + 8)/6 = 1
x2 = - 2 - 8)/6 = - 10/6 = - 5/3
x - ∞ - 5/3 1 + ∞
f '(x) + 0 - 0 +
variations - ∞→→→→→→→→→→ 175/27→→→→→→→→→→ - 3 →→→→→→→→→ + ∞
de f(x) croissante décroissante croissante
3) la fonction f admet un minimum local en x = 1 et un maximum local en x = - 5/3
4) a) l'équation de la tangente T à Cf en x = 0 est
y = f(0) + f '(0)x = - 5 x
b) position relative de Cf / T
f(x) - y = x³ + x² - 5 x - (- 5 x) = x³ + x² = x²(x + 1) or x² ≥ 0 donc le signe de f(x) - y dépend du signe de x + 1
x - ∞ - 1 + ∞
x + 1 - 0 +
Cf/T Cf est en Cf est au dessus de T
dessous de T
5) a) déterminer tous les points dont les tangentes à Cf sont parallèles à la droite y = 4 x - 4
On écrit f '(a) = 4 ⇔ 3 a² + 2 a - 5 = 4 ⇔ 3 a² + 2 a - 9 = 0
Δ = 4+108 = 112 > 0 ⇒ deux racines distinctes et √112 = 4√7
a1 = - 2+4√7)/6 = (- 1 + 2√7)/3
a2 = (- 2 - 4√7)/6 = (- 1 - 2√7)/3
Explications étape par étape :
