Réponse : Bonjour,
La série est égale à la dérivée de la somme des x^k, multiplié par x:
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)'=\frac{(-(n+1)x^{n})(1-x)+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k x^{k}=\frac{(-(n+1)x^{n+1})(1-x)+x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}[/tex]
Si [tex]x \in ]-1;1[[/tex], alors:
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}}[/tex]
