Bonsoir,
1.a) voir PJ.
b) En appliquant la réciproque du Th. de Thalès aux triangles EAB, EBC, ECD et EDA, on peut déduire que (AB)//(TU), (BC)//(RU), (CD)//(RS) et (AD)//(ST)
D'autre part et en appliquant le th. de Thalès on peut déduire que :
TU/AB = RU/BC = RS/CD = ST/AD = ER/EC = 1/3
D'où RS = ST = TU = UR = AB/3
RSTU est donc un losange dont le coté mesure AB/3
Aire(RSTU) = Aire (ABCD)/9 = 36/9 = 4 cm²
2. On note H le projeté orthogonal de E sur le plan (ABC) et H' son projeté sur le plan (RST).
Dans le plan EAC et en appliquant le th. de Thalès on montre que EH'/EH = ER/EC = 1/3 soit EH' = EH/3
Volume(ERSTU) = Aire(RSTU).EH' = (Aire(ABCD)/9) ((EH/3) = Aire(ABCD) . EH/27
Volume(ERSTU) = Volume(EABCD) / 27 = 108/27 = 4 cm³
