MAMA23H13
Answered

BONJOUR.
x et y sont des nombres positifs. Dans le triangle ABC rectangle en B, on considère la hauteur issue du sommet B dont le pied de la hauteur est le point H. Le segment [BH] est perpendiculaire au côté [AC] tel que AH = x et HC = y. On se propose dans cet exercice de calculer la longueur BH et plus précisément de déterminer une expression littérale de la longueur BH en fonction des nombres x et y.
1) Exprimer BH² en fonction de x et AB². Justifier la réponse.
2) Exprimer BH² en fonction de y et BC². Justifier la réponse.
3) En déduire une expression de 2BH².
4) Exprimer AB² + BC² en fonction de x et y.
5) Conclure et donner une expression littérale de BH en fonction de x et de y.
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Sagot :

MOZI

Bonjour,

1) Le triangle ABH est rectangle en H. D'après le th. de Pythagore, on a

BH² = AB² - AH² = AB² - x²

2) de la même façon et avec le triangle BCH, on montre que

BH² = BC² - y²

3) Par conséquent  2 BH² = AB² + BC² - x² - y²

4) Puisque ABC est rectangle en B et d'après le th. de Pythagore, on a

AB² + BC² = AC² = (AH + HC)² = (x + y)² = x² + 2xy + y²

5) On en de2duit que 2 BH² = x² + 2xy + y² - x² - y² = 2xy

Ou encore BH² = xy

Soit BH = √(xy)