Réponse :
1) f(x) = (x² - 2 x)eˣ
f '(x) = 2 xeˣ + (x² - 2 x)eˣ = (2 x + x² - 2 x)eˣ = x²eˣ ; eˣ > 0 et x² ≥ 0
donc f '(x) ≥ 0 ⇒ f est croissante sur R
2) f(x) = 1/x)eˣ f est définie sur R*
f '(x) = (uv)' = u'v + v'u
u(x) = 1/x ⇒ u'(x) = - 1/x²
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = - 1/x²)eˣ + 1/x)eˣ = (- 1/x² + 1/x)eˣ = (- 1 + x)/x²)eˣ or eˣ > 0 et x² > 0
donc le signe de f '(x) dépend du signe de - 1 + x
- 1 + x ≤ 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; 1] ⇒ f est décroissante sur ]- ∞ ; 1]
- 1 + x ≥ 0 / / [1 ; + ∞[ ⇒ f est croissante sur [1 ; + ∞[
3) f(x) = (eˣ - 1)/(2eˣ + 1) f est définie sur R
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = eˣ - 1 ⇒ u'(x) = eˣ
v(x) = 2eˣ + 1 ⇒ v '(x) = 2eˣ
f '(x) = (eˣ(2eˣ + 1) - 2eˣ(eˣ - 1))/(2eˣ + 1)²
= (2e²ˣ + eˣ - 2e²ˣ + 2eˣ)/(2eˣ + 1)²
= 3eˣ/(2eˣ + 1)² or (2eˣ + 1)² > 0 et eˣ > 0 ; 3 > 0 donc 3eˣ > 0
donc 3eˣ/(2eˣ + 1)² > 0 donc f '(x) > 0 ⇒ f est strictement croissante sur R
4) f(x) = eˣ/( eˣ - x) il faut que eˣ - x ≠ 0 ⇔ eˣ ≠ x il faut que x > 0
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = eˣ ⇒ u'(x) = eˣ
v(x) = eˣ - x ⇒ v'(x) = eˣ - 1
f '(x) = (eˣ ( eˣ - x) - (eˣ - 1)eˣ)/(eˣ - x)²
= (e²ˣ - x eˣ - e²ˣ + eˣ)/(eˣ - x)²
= (- x eˣ + eˣ)/( eˣ - x)²
= eˣ(- x + 1)/( eˣ - x)² or ( eˣ - x)² > 0 et eˣ > 0
donc le signe de f '(x) est du signe de - x + 1
- x + 1 ≥ 0 sur ]- ∞ ; 1] ⇒ f est croissante
- x + 1 ≤ 0 / [1 ; + ∞[ ⇒ f est décroissante
5) f(x) = x² - 2(x - 1)eˣ
f '(x) = 2 x - (2eˣ + 2(x - 1)eˣ)
= 2 x - 2eˣ - 2xeˣ + 2eˣ
= 2 x - 2xeˣ
= 2x(1 - eˣ)
x - ∞ 0 + ∞
2 x - 0 +
1 - eˣ + 0 -
P - 0 -
donc f est décroissante sur R
Explications étape par étape :