Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
[tex]\Delta=\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\\\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\0&a^2-1&a-1\\0&1-a&a-1\\\end{array}\right\|\\\\=(a-1)^2*\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\0&a+1&1\\0&-1&1\\\end{array}\right\|\\\\=(a^2-1)(a+2)[/tex]
[tex]\Delta_1=\left\|\begin{array}{cccc}1&1&1\\a&a&1\\a&1&a\\\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cccc}1&1&1\\0&0&1-a\\0&1-a&0\\\end{array}\right\|\\\\=-(1-a)^2[/tex]
[tex]\Delta_2=\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\\\end{array}\right\|=\dfrac{1}{a^2}*\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\0&a^2-1&a-1\\0&a-1&a^2-1\\\end{array}\right\|\\\\=\dfrac{(a-1)^2}{a}*\left\|\begin{array}{cccc}a+1&1\\1&a+1\\\end{array}\right\|=\dfrac{(a-1)^2}{a}*((a+1)^2-1)\\\\=(a-1)^2*(a+2)[/tex]
[tex]\Delta_3=\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\1&a&a\\1&1&a\\\end{array}\right\|=\dfrac{1}{a^2}*\left\|\begin{array}{cccc}a&1&1\\0&a^2-1&a^2-1\\0&a-1&a^2-1\\\end{array}\right\|\\\\=\dfrac{(a^2-1)*(a-1)}{a}*\left\|\begin{array}{cccc}1&1\\1&a+1\\\end{array}\right\|\\\\=(a-1)^2*(a+1)[/tex]
Si a= 1 alors: sol=le plan x+y+z=1
Si a=-1 alors sol={(-1,0,0)}
Si a=-2: système impossible sol={}
autres cas:
[tex]\left\{\begin {array}{cccccc}x&=&\dfrac{-(1-a)^2 }{(a^2-1)(a+2)} &=&\dfrac{a-1 }{(a+1)(a+2)}\\y&=&\dfrac{ (a-1)^2*(a+2)}{(a^2-1)(a+2)}&=&\dfrac{a-1 }{a+1}\\\\z&=&\dfrac{(a-1)^2*(a+1)}{(a^2-1)(a+2)}&=&\dfrac{a-1}{a+2}\end{array}\right.[/tex]
Sauf erreur(s) de calculs: à vérifier.