Réponse :
ex2
m est un réel et Dm est la famille de droites d'équation
(m + 2) x + (2 m + 2) y + 2 = 0
1) déterminer et construire la droite D0
m = 0 ⇒ D0 a pour équation 2 x + 2 y + 2 = 0 ⇔ 2(x + y + 1) = 0
⇔ x + y + 1 = 0 ⇔ y = - x - 1
a : coefficient directeur = - 1 < 0 ⇒ la droite est descendante
pour tracer D0 il faut 2 points de coordonnées (0 ; - 1) et (- 1 ; 0)
et D0 passe par ces deux points
2) déterminer et construire les droites Dm qui sont parallèles aux axes
Dm // à l'axe des abscisses ⇔ x = 0 ⇒ Dm a pour équation
(2 m + 2) y + 2 = 0 ⇔ y = - 2/(2 m + 2) avec m ≠ - 1
Dm : est l'ensemble des droites tel que m ∈ ]- ∞ ; - 1[U]- 1 ; + ∞[ et sont toutes parallèles à l'axe des abscisses
Dm // à l'axe des ordonnées ⇔ y = 0 ⇔ Dm a pour équation
(m + 2) x + 2 = 0 ⇔ x = - 2/(m+2) avec m ≠ - 2
pour construire Dm // à l'axe des abscisses
m = 0 ⇒ y = - 1
m = 1 ⇒ y = - 1/2
m = 2 ⇒ y = - 1/3 ⇒ pour m = - 2 ⇒ y = 1
Dm : est l'ensemble des droites tel que m ∈ ]- ∞ ; - 2[U]- 2 ; + ∞[ et sont toutes parallèles à l'axe des ordonnées
pour m = 0 ⇒ x = - 1
pour m = 1 ⇒ x = - 2/3
pour m = - 1 ⇒ x = - 2
pour m = - 3 ⇒ x = 2
3) montrer de deux façons différentes, que deux droites quelconques Dm ne peuvent pas être parallèles
(m + 2) x + (2 m + 2) y + 2 = 0 a pour vecteur directeur
(- b ; a) = (-(2 m + 2) ; m + 2)
pour m = 0 ⇒ (- 2 ; 2)
pour m = 1 ⇒ (- 4 : 3)
det (u ; v) = xy' - x'y = - 2 * 3 - (- 4)*2 ≠ 0 donc les droite D0 et D1
ne sont pas //
pour m = 0 ⇒ y = - x - 1
pour m = 1 ⇒ 3 x + 4 y + 2 = 0 ⇒ y = - 3/4) x - 1/2
Do et D1 ont les coefficients directeurs différents donc D0 n'est pas // à D1
4) existe t-il une droite Dm qui passe par le point A(3 ; 2) ? une qui passe par B(- 4 ; 2) ?
Dm passant par le point A(3 ; 2) ⇔ (m + 2)*2 + (2 m + 2)*2 + 2 = 0
⇔ 2 m + 4 + 4 m + 4 + 2 = 0 ⇔ 6 m + 10 = 0 ⇔ m = - 10/6 = - 5/3
donc il existe une droite Dm pour m = - 5/3 qui passe par le point A
Dm passant par le point B ⇔ (m + 2)*(- 4) + (2 m + 2)*2 + 2 = 0
⇔ - 4 m - 8 + 4 m + 4 + 2 = 0 ⇔ - 8 + 6 = - 2 ≠ 0
Don il n'existe pas de droite Dm passant par le point B
5) pour quelles valeurs de m les droites Dm ne rencontrent-elles pas la parabole d'équation y = x²/4
(m + 2) + (2 m + 2) y + 2 = 0
(m + 2) x + (2 m + 2) x²/4 + 2 = 0
(2 m + 2) x²/4 + 4(m + 2) x/4 + 4/2 = 0
(2 m + 2) x² + 4(m+2) x + 4 = 0
Δ = 16(m+2)² - 16(2 m + 2) = 16(m² + 4 m + 4) - 32 m - 32
= 16 m² + 64 m + 64 - 32 m - 32
= 16 m² + 32 m + 32
Δ < 0 ⇔ 16 m² + 32 m + 32 < 0
δ = 32² - 4 *16*32 = 1024 -
Explications étape par étape :