Bonsoir,
Je t'aide pour la partie A seulement, le reste étant très long.
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :
[tex]f(x)=ax+b+\dfrac{2}{2x-1}[/tex]
avec [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux réels.
Comme le point [tex]A(1;5)[/tex] passe par la courbe représentative de [tex]f[/tex], on a :
[tex]f(1)=5[/tex].
On dérive la fonction [tex]f[/tex] :
[tex]f'(x)=a\times 1+0+\dfrac{(2)'(2x-1)-(2)(2x-1)'}{(2x-1)^{2}}\\\\ \\f'(x)=a+\dfrac{0-2\times 2}{(2x-1)^{2}} \\\\\\f'(x)=a+\dfrac{-4}{(2x-1)^{2}}[/tex]
D'où : [tex]f'(1)=a+\dfrac{-4}{(2\times 1-1)^{2}} =a+\dfrac{-4}{1}=a-4[/tex]
Or, on sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de [tex]f[/tex] au point d'abscisse 1 est égal à -3.
On obtient alors l'égalité suivante :
[tex]f'(1)=a-4=-3[/tex]
D'où : [tex]a=1[/tex]
On a alors : [tex]f(x)=x+b+\dfrac{2}{2x+1}[/tex]
Or, on a : [tex]f(1)=5[/tex]
D'où :
[tex]f(1)=1+b+\dfrac{2}{2\times 1-1} =5\\\\1+b+2=5\\b+3=5\\b=2[/tex]
Ainsi, les deux réels [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont tels que :
En espérant t'avoir aidé.
