Réponse :
1) L'équation de droite est de forme [tex]y = ax + b[/tex]
On calcule tout d'abord le coefficient directeur de l'équation de droite de[tex](AB)[/tex] grâce à la différence entre les x et la différence entre les y :
[tex]a = \frac {\Delta x} {\Delta y} = \frac {3-1} { -3 - 2} = -\frac {2} {5}[/tex]
[tex]y = -\frac{2}{5}x + b[/tex]
Puis calculé l'ordonnée à l'origine de [tex](AB)[/tex], on sait grâce au point A que [tex]1=-\frac{2}{5}(2) + b \iff 1 +\frac{2}{5}(2) = b \iff b = 1 + \frac {4}{5} = \frac{9}{5}[/tex]
L'équation de [tex](AB)[/tex] est donc [tex]y = - \frac{2}{5} + \frac{9}{5}[/tex].
2) Pour qu'une équation de droite soit perpendiculaire à une autre, il faut que [tex]a' = - \frac {1} {a}[/tex] avec a' coefficient directeur de la perpendiculaire. Donc la perpendiculaire à [tex](AB)[/tex] définit par [tex]y = a'x + b'[/tex].
Ici [tex]a' = - \frac {1} {-\frac {2}{5}} = -(-\frac {5}{2}) = \frac {5}{2}[/tex].
Donc [tex]y = \frac {5}{2}x + b'[/tex]. Cette droite passe par A donc comme tout à l'heure :
[tex]1 = \frac{5}{2}(2) + b' \iff 1 - \frac{5}{2}(2) = b' \iff b' = 1 - \frac {10}{2} = 1 - 5 = -4[/tex]
La perpendiculaire à [tex](AB)[/tex] est donc [tex]y = \frac {5}{2}x - 4[/tex].
3) Notons que la médiatrice d'une droite est impossible, supposons qu'il s'agit de la médiatrice de [tex][AB][/tex].
Appelons M le milieu de [tex][AB][/tex]:
[tex]M_x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (- 3)}{2} = \frac {-1}{2}\\M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1+3}{2} = 2\\M = \Big( {{\frac{-1}{2}} \atop {2}} \Big).[/tex]
On cherche donc une perpendiculaire de forme [tex]y = \frac{5}{2}x + b'[/tex] qui passe par M, donc à nouveau :
[tex]2 = \frac{5}{2}\frac{-1}{2} + b' \iff 2 - \frac {-5}{4} = b' \iff b' = \frac {13}{4}[/tex]
La médiatrice à [tex][AB][/tex] est donc [tex]y = \frac{5}{2}x + \frac{13}{4}[/tex]
4) Il faut tout d'abord calculer le rayon [tex]AB[/tex]:
[tex]AB = \sqrt{(A_x-B_x)^2 + (A_y-B_y)^2} = \sqrt{(2-(-3))^2 +(1-3)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}[/tex]
L'équation de cercle est de forme [tex](x-c_x)^2+(y-c_y)^2 = r^2[/tex] avec [tex]c_x[/tex] la position x du centre, [tex]c_y[/tex] la position y du centre et r le rayon.
Ici [tex](x-2)^2+(y-1)^2=29[/tex]
5) Pour un diamètre de [tex]AB[/tex] il faut un rayon de [tex]\frac{AB}{2}[/tex]:
[tex]x^2+y^2=(\frac{\sqrt{29}}{2})^2 \iff x^2 + y^2 = \frac{29}{4}[/tex]
