Explications étape par étape :
1) On remarque que l'expression de [tex]H(x)[/tex] peut s'écrire :
[tex](7x-3)^2 - 3^2[/tex]
On peut ici voir une expression de forme [tex]a^2 - b^2[/tex]
Avec [tex]a = (7x - 3)[/tex] et [tex]b = 3[/tex]. Or on sait grâce à l'identité remarquable que [tex]a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)[/tex].
Ici donc : [tex](7x - 3)^2 - 3^2 = (7x - 3 -3)(7x - 3 + 3) = (7x - 6)(7x) = 7x(7x-6)[/tex].
La forme factorisée de [tex]H(x)[/tex] est donc [tex]H(x) = 7x(7x-6)[/tex]
2) Tout d'abord, il faut trouver ou la fonction H s'annule donc :
[tex]H(x) = 0 \iff 7x(7x-6) = 0 \iff 7x = 0 \ ou \ 7x-6 = 0\\\iff x = 0 \ ou \ 7x = 6 \iff x = 0 \ ou \ x = \frac {6} {7}[/tex]
[tex]H(x) = 0 \iff x \in \{0;\frac{6}{7}\}[/tex]
Le premier facteur de [tex]H(x)[/tex], [tex]7x[/tex] a un coefficient directeur positif, c'est donc une expression croissante, son tableau de signe est donc :
[tex]\begin{tabular}{| c | c | c | c |}x & -\infty & 0 & \infty \\7x & - & 0 & +\end{tabular}[/tex]
Tandis que pour l'expression [tex]7x-6[/tex], son coefficient directeur est aussi positif, son tableau de signe est donc :
[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|}x & -\infty & 6/7 & +\infty \\7x - 6 & - & 0 & +\end{tabular}[/tex]
Traçons maintenant le tableau de [tex]H(x)[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}x & -\infty & 0 & & 6/7 & +\infty\\7x & - & 0 & + & + & +\\7x-6 & - & - & - & 0 & +\\H(x) & + & 0 & - & 0 & +\end{tabular}[/tex]
On note toutes les valeurs de x remarquables dans la 1ère ligne du tableau.
On copie les tableaux de signes de [tex]7x[/tex] et [tex]7x-6[/tex].
Puis pour la ligne [tex]H(x)[/tex] on fait le produit des lignes du dessus, donc [tex]- \times - = +\\+ \times - = -\\+ \times + = +[/tex]
Et on obtient la ligne [tex]H(x)[/tex].
3) L'inéquation [tex]H(x) \leq 0[/tex] revient à donner l'intervalle sur lequel [tex]H(x)[/tex] est négatif ou nul. Grâce à notre tableau de signe, on peut voir qu'entre 0 et [tex]\frac {6}{7}[/tex] la fonction est négative. L'inéquation est non stricte ([tex]\leq[/tex] et pas [tex]<[/tex]) on inclut ces 2 nombres dans l'intervalle de réponse : [tex][0;\frac{6}{7}][/tex]
4) L'interprétation graphique est qu'entre 0 et [tex]\frac {6}{7}[/tex] la courbe de [tex]H(x)[/tex] est en dessous de l'axe des abscisses.
