Réponse :
[tex]\text{ Utiliser la formule} : [u(x)*v(x)]'=u(x)*v'(x)+u'(x)*v(x)[/tex]
Appliquons la formule a la fonction f :
[tex]u(x)=6-3x[/tex] [tex]u'(x)=-3[/tex]
[tex]v(x)=e^{2x}[/tex] [tex]v'(x)=2e^{2x}[/tex]
[tex]f'(x)=(6-3x)*[2e^{2x}]+(-3)*[e^{2x}][/tex]
[tex]f'(x)=-3e^{2x}+(6-3x)e^{2x}*2[/tex]
[tex]f'(x)=(-3+2[6-3x])e^{2x}[/tex]
[tex]f'(x)=(-3+12-6x)e^{2x}[/tex]
[tex]f'(x)=(9-6x)e^{2x}[/tex]
Etudions désormais le signe de la dérivée pour ainsi déduire la variation de la fonction f :
Comme la dérivée est un produit de deux fonctions, il suffit alors d'étudier le signe des deux fonctions séparéments et ensuite appliquer la règle des signes :
[tex]e^{2x} \text{ est toujours positif sur } \mathbb{R} \text[/tex]
Donc il suffit d'étudier le signe de (9-6x)
[tex]9-6x \geq 0[/tex]
[tex]-6x \geq -9[/tex]
[tex]6x \leq 9[/tex]
[tex]x \leq \frac{3}{2}[/tex]
Donc : [tex]\forall x\leq \frac{3}{2} \text{ On a } (9-6x)\geq 0[/tex]
Conclusion :
[tex]\forall x\leq\frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\geq 0[/tex]
[tex]\forall x\geq \frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\leq 0[/tex]
[tex]\iff \forall x \in]-\infty;\frac{3}{2} ] f \text{ est croissante} \\\iff \forall x \in[\frac{3}{2};+\infty ] f \text{ est decroissante}[/tex]
