Réponse :
1) a) la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ IN, un+1 = 2un + 5 n'est ni géométrique, ni arithmétique - Affirmation vraie
u0 = 1
u1 = 2u0 + 5 = 7
u2 = 2u1 + 5 = 19
u1/u0 = 7/1 = 7 ; u2/u1 = 19/7 ⇒ u1/u0 ≠ u2/u1 donc (un) n'est pas une suite géométrique
u1 - u0 = 7 - 1 = 6 ; u2 - u1 = 19 - 7 = 12 ⇒ u1 - u0 ≠ u2 - u1 donc la suite (un) n'est pas arithmétique
b) la suite (vn) définie pour tout n ∈ IN par vn = un + 5 est géométrique
vn+1 = un+1 + 5
= 2un + 5 + 5
= 2un + 10
= 2(un + 5)
= 2vn
vn+1 = 2vn donc (vn) est une suite géométrique donc affirmation vraie
2) la suite (un) définie pour tout n ∈ IN par un = - 1/(4n + 1) est une suite croissante
un+1 - un = - 1/(4(n+1) + 1) - (- 1/(4n + 1)
= - 1/(4n + 5) + 1/(4n+1)
= (- (4n + 1) + (4 n + 5))/(4 n + 5)(4n + 1)
= (- 4 n - 1 + 4 n + 5)/(4 n + 5)(4n + 1)
= 4/(4n + 5)(4n + 1) or n ≥ 0 donc 4n+1 > 0 et 4n+5 > 0
donc un+1 - un > 0 ⇒ (un) est une suite croissante sur IN
donc affirmation vraie
k = 63
3) ∑ 2^k = 2⁶⁴ - 1
k = 0
S = 1 + 2 + 2² + 2³ + ....... + 2⁶³ est une somme de termes géométriques
donc S = 1 x (1 - 2⁶³⁺¹)/(1 - 2) = - (1 - 2⁶⁴) = 2⁶⁴ - 1
donc l'affirmation est vraie
Explications étape par étape :