bonjour
a)
Nombre de diagonales d'un polygone convexe
voir image
MNOPQR est un hexagone : 6 sommets
• à partir de M on peut tracer 3 diagonales
3 correspond à 6 sommets - 3 sommets (M, N et R)
• à partir de chaque sommet on peut tracer 3 diagonales
• chacune d'elle est tracée deux fois :
MO à partir su sommet M
et OM à partir du sommet O
il y a au total 3 diagonales (6 - 3)
multiplié par le nombre de sommets (6 - 3) x 6
le tout divisé par 2
(6 - 3) x 6 / 2 = 9
dans le cas d'un polygone à n sommets
à partir de chaque sommet on peut tracer (n - 3) diagonales
n sommets => n(n - 3) diagonales, mais chacune est comptée 2 fois
d'où la formule n(n - 3)/2 diagonales
b)
nombre de diagonales des polygones de 4 à 13 sommets
(on commence par un quadrilatère, un triangle n'a pas de diagonale)
sommets nombre de diagonales
4 (4 - 3) x 4 / 2 = 2
5 (5 - 3) x 5 / 2 = 5
6 (6 - 3)x 6 / 2 = 9
7 14
8 20
9 27
10 35
11 44
12 54
13 65
on a trouvé :
2 ; 5 ; 9 ; 14 ; 20 ; 27 ; 35 ; 44 ; 54 ; 65
la question posée revient à trouver parmi ces nombres :
trois nombres dont la somme est 68
(un nombre peut être répété)
j'ai trouvé 2 réponses
1)
un polygone à 5 sommets (5 diagonales)
un polygone à 6 sommets (9 diagonales)
un polygone à 12 sommets (54 diagonales)
à eux trois ils ont
5 + 9 + 54 = 68 diagonales
et
5 + 6 + 12 = 23 côtés
2)
1 polygone à 7 sommets (14 diagonales)
2 polygones à 9 sommets (27 diagonales chacun)
14 + 27 + 27 = 68 diagonales
et
7 + 9 + 9 = 25 côtés
