Réponse :
Commence par tout développer :
[tex]f(x)=(2x+1)^2-(x-3)(2x+1)[/tex]
[tex]f(x)=4x^2+4x+1-(2x^2+x-6x-3)[/tex]
[tex]f(x)=4x^2+4x+1-2x^2+5x+3[/tex]
[tex]f(x)=2x^2+9x+4[/tex]
Pour simplifier les calculs, refactoriser :
[tex]f(x)=2x^2+8x+x+4[/tex]
[tex]f(x)=2x(x+4)+x+4[/tex]
[tex]f(x)=(x+4)(2x+1)[/tex] On met (x+4) en facteur
3/ Comme on a le produit de 2 fonctions affines, il suffit de trouver les racines cas par cas :
[tex]x+4 =0[/tex] [tex]x=-4[/tex]
[tex]2x+1=0[/tex] [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex]
On sait que dans le polynôme de degré 2, [tex]a=2 > 0[/tex] donc on obtient une courbe avec une parabole "inversée" avec un minimum :
[tex]S=x\in[-4 ;-\frac{1}{2} ][/tex]
4/ Il suffit de développer f(x) et ajouter -4 :
[tex]f(x)-4=2x^2+9x+4-4[/tex]
[tex]f(x)-4=2x^2+9x[/tex]
En factorisant, on retrouve :
[tex]f(x)-4 = x(2x+9)[/tex]
5/ On connaît déjà la forme de la courbe donc il suffit de trouver les racines de f(x)-4 :
[tex]f(x)-4=0[/tex]
[tex]x(2x+9)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] ou [tex]x=-\frac{9}{2}[/tex]
Donc les solutions sont :
[tex]S=x\in]-\infty;-\frac{9}{2} ]\cup[0;+\infty[[/tex]
Nota Bene : Il faut toujours se rappeler de la forme de la courbe pour trouver les solutions, ici on a une parabole "inversée" donc les bornes commencent et finissent toujours par - l'infini et + l'infini.