Sagot :
Réponse :
bonjour je pense que tu veux dire f(x)=[(e^x)-2]/[(e^x)-1]
Explications étape par étape :
1) f(x) est une fonction " quotient "; elle n'est donc pas définie pour la valeur de x qui annule le diviseur
e^x -1= 0 a pour solution x=0 (valeur interdite)
le domaine de définition Df=R*
2-3) limites et asymptotes
si x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers -2/(-1)=2+
si x tend vers +oo, (-2) et (-1) sont des valeurs négligeables dont f(x) tend vers e^x/e^x=1-
Les droites d'équations y=2 et y=1 sont des asymptotes horizontales
si x tend vers 0 (avec x<0) f(x) tend vers (1-2)/[(1-)-1]=-1/(-epsilon)=+oo
si x tend vers 0 (avec x>0) f(x) tend vers -1/(+epsilon)=-oo
La droite d'équation x=0 est une asymptote verticale.
4)Dérivée : f(x) est une fonction "quotient" type u/v sa dérivée est donc f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec
u=e^x -2 u'=e^x et v=e^x-1 v'=e^x
ce qui donne f'(x)=[(e^x)(e^x-1)-(e^x)( e^x-2)]/(e^x-1)²
on factorise (e^x)(e^x-1-e^x+2)/(e^x-1)²=e^x/(e^x-1)²
on note que f'(x) est toujours >0 sur le Df
5) je te joins le tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x) + II +
f(x) 2+ croît +oo II -oo croît 1-
cela confirme que f(x)=0 a pour solution unique x=ln2
