Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = x+1 + x/(e^x)
■ dérivée f ' (x) = 1 + [ e^x - x*e^x ]/(e^x)²
= 1 + [ (1-x)*e^x ] / (e^x)²
= 1 + (1-x)/(e^x)
cette dérivée est positive pour (1-x)/e^x > -1
(1-x) > -(e^x)
ce qui est toujours vérifié ! ☺
■ tableau demandé :
x --> -∞ -1 -0,4 0 1 2 10 +∞
f ' (x) -> 1+2e 3 2 1 0,9 1
f(x) --> -∞ - -e 0 1 2,4 3,3 11 +∞
les valeurs en italiques sont arrondies !
■ conclusion :
f(x) est positive pour x > -0,40106 environ !