Bonjour,
Soit n un entier, la fonction qui à t de
[tex][0;\pi][/tex]
associe
[tex]t\sin(nt)[/tex]
est continue, donc intégrable sur cet intervalle
si n=0,
[tex]I=\int\limits^{\pi}_0 {t} \, dt\\\\=\left[ \dfrac{t^2}{2}\right] _0^{\pi}\\\\=\dfrac{\pi^2}{2}[/tex]
Maintenant, prenons n entier non nul, nous pouvons procéder à une intégration par partie
[tex]u=t, \ u'=1\\v'=cos(nt), \ v=\dfrac{sin(nt)}{n}[/tex]
[tex]I=\int\limits^{\pi}_0 {t\cos(nt)} \, dt \\\\ =\int\limits^{\pi}_0 {\dfrac{t}{n}} \, d\left( \sin(nt)\right) \\\\=\left[\dfrac{t\sin(nt)}{n} \right]_0^{\pi}-\int\limits^{\pi}_0 {\dfrac{\sin(nt)}{n}} \, dt \\\\=\dfrac{\pi\sin(n\pi)}{n}+\left[\dfrac{\cos(nt)}{n^2} \right]_0^{\pi}\\\\=\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}[/tex]
car
[tex]\sin(n\pi)=0[/tex]
et
[tex]\cos(n\pi)=(-1)^n[/tex]
Merci
