Réponse :
Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré, et les triangles ABE et CBF sont des triangles équilatéraux.
On se place dans un repère (A;B;D)
1. quelle est la nature du repère (A;B;D)? Expliquer la réponse.
le repère (A; B ; D) est un repère orthonormé car AB = AD et (AB) ⊥(AD)
2. déterminer la longueur exacte du segment [EH] dans le repère (A;B;D).
AEH triangle rectangle en H ⇒ th.Pythagore ⇒ AE² = EH²+AH²
⇒ EH² = AE² - AH² = 1 - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4 ⇒ EH = √3)/2
On admet pour la suite que EH=FJ.
3. Dans le repère (A;B;D), donner les coordonnées des points D, E et F.
D(0 ; 1) ; E(1/2 ; √3/2) et F(1 + √3/2 ; 1/2) = ((2+√3)/2 ; 1/2)
4. Les vecteurs DE et DF sont ils colinéaires ? Qu’en déduit-on concernant les points D, E, F?
vec(DE) = (1/2 ; (√3/2) - 1) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)
vec(DF) = ((2+√3)/2 ; 1/2 - 1) = ((2+√3)/2 ; - 1/2)
det(vec(DE) ; vec(DF)) = xy' - x'y = 1/2)*(- 1/2) - (2+√3)/2 *(√3- 2)/2
= - 1/4 - 1/4((2+√3)(-2 +√3)
= - 1/4 + 1/4((2+√3)(2 -√3)
= - 1/4 + 1/4(4 - 3)
= 0
Donc les vecteurs DE et DF sont colinéaires ⇒ les points D; E et F sont donc alignés
Explications étape par étape :
