Bonsoir,
Ex3
1) 2 sin(x - π/3) = 1 ⇔ sin(x - π/3) = 1/2
⇔ x - π/3 = π/6 + 2kπ ou x - π/3 = 5π/6 + 2kπ avec k ∈ Z
⇔ x = π/3 + π/6 + 2kπ ou x = π/3 + 5π/6 + 2kπ avec k ∈ Z
⇔ x = π/2 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ avec k ∈ Z
2) tan(2x + π/6) = 1 ⇔ 2x + π/6 = π/4 + kπ avec k ∈ Z
⇔ 2x = π/4 - π/6 + kπ avec k ∈ Z
⇔ 2x = π/12 + kπ avec k ∈ Z
⇔ x = π/24 + kπ/2 avec k ∈ Z
Ex4
1) cos²(x) + cos(x) = 0
⇔ cos(x) (cos(x) - 1) = 0
⇔ cos(x) = 0 ou cos(x) = -1
⇔ x = -π/2 ou x = π/2 ou x = -π ou x = π
S = {-π ; -π/2 ; π/2 ; π}
2) cos(x) = sin(x)
On note que π/2 + kπ n'est pas une solution de l'équation.
D'où cos(x) = sin(x) ⇔ tan(x) = 1 ⇔ x = π/4 ou x = 5π/4
3) 2 cos²(x) - 5 cos(x) - 3 = 0
On pose X = cos(x)
2 cos²(x) - 5 cos(x) - 3 = 0 ⇔ X² - 2 * X * 5/4 + (²5/4) = 25/16 + 24/16
⇔ (X - 5/4)² = (7/4)²
⇔ X = 5/4 - 7/4 ou X = 5/4 + 7/4
⇔ X = -1/2 ou X = 3
⇔ cos (x) = -1/2
⇔ x = ± 2π/3 + 2kπ avec k ∈ Z
Ex5
1) cos²(x) + cos(x) > 0
⇔ cos(x)) (1 + cos(x)) > 0
⇔ (cos(x) > 0 et cos(x) > -1 ) ou (cos(x) < 0 et cos(x) < -1)
⇔ cos(x) > 0
⇔ x ∈ ]-π/2 ; π/2[
