Réponse :
Explications étape par étape :
■ 1°) étude de Un :
Uo = 0 ; Un+1 = 1 - 0,5*Un
donc U1 = 1 ; U2 = 0,5 ; U3 = 0,75 ;
U4 = 0,625 ; U5 = 0,6875 ; ...
recherche de la Limite :
L = 1 - 0,5L donne 1,5L = 1 d' où L = 2/3 .
( on utilise cette Limite ci-dessous ! ☺ )
■ 2°) étude de Vn :
Vn = Un - 2/3
donc Vo = -2/3 ; V1 = 1/3 ; V2 = -1/6 ;
V3 = 1/12 ; V4 = -1/24 ; V5 = 1/48 ; ...
(Vn) est donc bien une suite géométrique
de terme initial Vo = -2/3 et de raison q = -0,5 .
conclusion : Vn = (-2/3) * (-0,5)^n .
■ 3°) Un = (-2/3)*(-0,5)^n + (2/3)
d' où U5 = (-2/3)*(-0,5)^5 + (2/3)
= (-2/3)*(-1/32) + (2/3)
= (1/48) + (2/3)
= 11/16
= 0,6875 .