Réponse :
2. a. Calculer la distance BD.
vec(BD) = (5-1 ; 3 - 5) = (4 ; - 2) ⇒ BD² = 4² + (- 2)² = 20
⇒ BD = √20 = 2√5
b. On admet que AB=3√5 et AD=√65 .
Montrer que ABD est un triangle rectangle.
AB² + BD² = (3√5)² + 20 = 45 +20 = 65
AD² = (√65)² = 65
on a ; l'égalité AD² = AB² + BD² qui est vraie, donc d'après la réciproque du th.Pythagore, le triangle ABD est rectangle en B
c. Déterminer la mesure, arrondie à 0,1° près, de l'angle ̂BAD .
sin ^BAD = BD/AD ⇔ sin ^BAD = √20/√65 = √(20/65) ≈ 0.5547
⇒ ^BAD = arcsin(√(20/65) ≈ 33.7°
3. On note (C) le cercle circonscrit au triangle ABD.
Calculer les coordonnées de son centre K (justifier) ainsi que son rayon r.
K est le milieu de (AD) : K((-2+5)/2 ; (3-1)/2)) = K(3/2 ; 1)
r = AD/2 = √65)/2
4. E est le point défini par : vec(⃗AE)=−3/2vec(BD)
a. Justifier que les droites (AE) et (BD) sont parallèles.
les vecteurs AE et BD sont colinéaires car il existe un réel k = - 3/2
tel que vec(AE) = - 3/2vec(BD) donc les droites (AE) et (BD) sont parallèles
b. Calculer les coordonnées du point E.
soit E(x ; y) tel que vec(AE) = - 3/2vec(BD)
vec(AE) = (x + 2 ; y + 1)
vec(BD) = (4 ; - 2) ⇒ - 3/2vec(BD) = (- 3/2 * 4 ; - 3/2 * (- 2)) = (- 6 ; 3)
x + 2 = - 6 ⇔ x = - 8 et y + 1 = 3 ⇔ y = 2
E(- 8 ; 2)
c. Les droites (AD) et (BE) sont-elles parallèles ? Justifier.
En déduire la nature exacte du quadrilatère ADBE.
vec(AD) = (5+2 ; 3+1) = (7 ; 4)
vec(BE) = (-8-1 ; 2- 5) = (-9 ; - 3)
det(vec(AD) ; vec(BE)) = xy' - x'y = 7*(- 3) - (- 9)*4 = - 21 + 36 = 15 ≠ 0
donc les vecteurs AD et BE ne sont pas colinéaires donc les droites (BE) et (AD) ne sont pas parallèles
le quadrilatère ADBE est un trapèze car les droites (BD) et (AE) sont //
Explications étape par étape :