Bonjour,
Ex2
1.a) f(x) = 0 ⇔ ln(x) = ½ ⇔ exp(½) = √e ≈ 1,65
b) f (x) < 0 si x < √e | f(√e) = 0 | f (x) > 0 si x > √e
2.a) on a lim (x → 0+) ln(x) = -∞ et lim (x→-∞) x² - x = +∞
Donc lim (x → 0+) g(x) = +∞
b) on a lim (x → +∞) ln(x) = +∞ et lim (x→+∞) x² - x = +∞
Donc lim (x → +∞) g(x) = +∞
c) la fonction ln est continue et dérivable sur ]0 ; +∞[. il en est donc de même pour g et on a g'(x) = 2 ln(x) / x - 1/x = (2 ln(x) - 1) / x = f(x)
d) On a
f (x) < 0 si x < √e | f(√e) = 0 | f (x) > 0 si x > √e
Donc
g (x) est décroissante pour tout x < √e et croissante pour tout x > √e
On a
min (g) = g(√e) = ln²(√e) - ln(√e) = 1/4 - 1/2 = -1/4
et g(x) = 0 ⇔ ln(x) = 0 ou ln(x) = 1 ⇔ x = 1 ou x = e
x___|0_____________1____________√e___________e__________+∞|
g(x)_|+∞_décroissante_0_décroissante_-1/4_croissante_0_croissante_+∞|
Ex3
1) f'(x) = 2x /x² = 2/x
f'(1) = 2
L'équation de (T) est donc y = 2x -2 + f(2) = 2x - 2 + 0 + 2 = 2x
soit y = 2x
(T) passe donc bien par l'origine du repère.
2) f"(x) = -2/x² <0
f est donc concave sur son domaine de définition.
3) On pose g(x) = f(x) - 2x = ln(x²) - 2x + 2
g'(x) = 2/x - 2
g'(x) > 0 pour tout x dans ]0 ; 1] et g'(x) <0 pour tout x > 1
g est donc croissante sur ]0 ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[ avec
g(1) = ln(1) - 2 + 2 = 0
On en déduit que g(x) ≤ 0 pour tout x ∈]0 ; +∞[
Et donc f(x) ≥ 2x pour tout x ∈]0 ; +∞[
(C) se trouve donc au dessous de (T). les deux courbes sont tangentes au point (1 ; 2)
