Bonjour,
Ex3:
Pour A, B et C, il faudrait utiliser l'identité remarquable (a-b)(a+b) = a²-b²
car elle nous permettra d'éliminer la racine carée.
Et utiliser la même technique deux fois pour D.
(2 + √3) A = (2 + √3) (2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
(7 - √3) B = (7 - √3) (7 + √3) = 7² - (√3)² = 49 - 3 = 46
(√7 - √3) C = (√7 - √3) (√7 + √3) = (√7)² - (√3)² = 7 - 3 = 4
(√5 - (√3 -1)) D = (√5 - (√3 -1)) (√5 + (√3 -1)) = (√5)² - (√3 -1)²
= 5 - 3 + 2√3 -1 = 1 + 2√3
Donc
(1 - 2√3) (√5 - (√3 -1)) D = (1 - 2√3) (1 + 2√3) = 1 - 12 = -11
Ex4:
√2 = 0 + 1 * √2
18 = 18 + 0 * √2
0 = 0 + 0 * √2
(3 + √2) / 7 = (3/7) + (1/7) * √2
(√2 + 5)² = 2 + 25 + 10√2 = 27 + 10 * √2
1/√2 = 0 + ½ * √2
1/(3√2) = √2 / 6 = 0 + 1/6 * √2
a) Soient x et y deux éléments de E
Il existe donc 4 entiers a1, b1, a2 et b2 tels que
x = a1 + b1 * √2 et y = a2 + b2 * √2
On en déduit que x + y = (a1 + a2) + (b1 + b2) √2
D'où x+y ∈ E
b) Soient x et y deux éléments de E
Il existe donc 4 fractions a1, b1, a2 et b2 tels que
x = a1 + b1 * √2 et y = a2 + b2 * √2
On en déduit que xy = (a1 + b1 * √2) (a2 + b2 * √2)
soit xy = a1.a2 + 2b1.b2 + (a1.b2 + a2.b1) √2
D'où xy ∈ E
c) Soit x ∈ E avec x ≠ 0
Il existe donc deux fractions a1 et b1
tels que x = a1 + b1 * √2 ; avec (a1)² + (b1)² ≠ 0
1/x = (a1 - b1 * √2) / [(a1 - b1 * √2) (a1 + b1 * √2)] = (a1 - b1 * √2) / [(a1)² - 2(b1)²]
D'où 1/x = (a1 / [(a1)² - 2(b1)²]) - (b1 / [(a1)² - 2(b1)²]) * √2
On en conclut que 1/x ∈ E pour tout x ≠ 0 dans E
