Bonjour,
Je note A→B le vecteur AB
On note G le milieu de [AB] et H celui de [BC]
EG² = AE² - AG² = AB² - (AB/2)² = AB² - AB²/4 = 3/4 AB²
Soit G→E = (√3)/4 . A→D
On montre de même que H→F = (√3)/4 . A→B
On a E→F = E→G + G→B + B→H + H→F
E→F = -(√3 / 4) . A→D + ½ A→B + ½ A→D + (√3 / 4). A→B
E→F = (½ + √3 / 4) A→B + (½ - √3 / 4) A→D
D'autre part D→E = D→A + A→G + G→E = -A→D + ½ A→B + (√3 / 4) . A→D
Soit D→E = ½ A→B + (-1 + √3 / 4) A→D
Donc (1 + √3 / 2) D→E = (½ + √3 / 4) A→B + (1 + √3 / 2) (-1 + √3 / 4) A→D
(1 + √3 / 2) D→E = (½ + √3 / 4) A→B + (-1 + √3 / 4 - √3 / 2 + 3/2) A→D
(1 + √3 / 2) D→E = (½ + √3 / 4) A→B + (½ - √3 / 4) A→D = E→F
Les vecteurs D→E et E→F sont donc colinéaires et les point D, E et F sont par conséquent alignés.
