Bonjour, je n'arrive pas à faire le b. et le c. ,
pouvez vous m'aider. Merci d'avance

Dans un repère orthonormé (0, 1, J), on considère les points A(4:3), B(-1;-2) et C(-2;3), ainsi que les points A', B' et C' les milieux respectifs des segments
G, intersection des médianes (AA) et (BB) (ce point est appelé centre de gravité du triangle)
H, intersection de deux hauteurs du triangle ABC (ce point est appelé orthocentre du triangle)
I, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points H, G et I?

On veut démontrer cette conjecture.

a. Déterminer les coordonnées du point G. Sachant que GA+GB + GC = b.

b.Que peut-on dire des vecteurs CH et AB d'une part, et AH et BC d'autre part? En déduire les coordonnées du point H.

c. Que peut-on dire des droites (IA') et (BC) d'une part, et (IB") et (AC) d'autre part? En déduire les coordonnées du point I.

d. Démontrer la conjecture établie à la question 1.

Question

Answered

Sagot :

MOZI MOZI · Answer 1 · 2022-04-18T01:30:24+02:00

Bonsoir,

On a A(4 ; 3) ; B(-1 ; -2) ; C(-2 ; 3)

Donc A'(-3/2 ; 1/2) ; B'(1 ; 3) ; C'(3/2 ; 1/2)

Conjecture : les 3 points sont alignés.

a) Si GA+GB+GC = 0 alors

3xG = xA + xB + xC = 4 - 1 - 2 = 1 d'où xG = 1/3

3yG = yA + yB + yC = 3 - 2 + 3 = 4 d'où yG = 4/3

G(1/3 ; 4/3)

b) (CH) ⊥ (AB) d'où CH.AB = 0 (produit scalaire)

Or CH(xH +2 ; yH - 3) et AB(-5 ; -5)

D'où (xH + 2) + (yH-3) = 0 soit xH + yH = 1

idem pour AH et BC

On a AH(xH - 4 ; yH - 3) et BC(-1 ; 5)

Soit xH - 4 = 5yH - 15

⇔ 1 - yH - 4 = 5yH - 15

⇔ 6 yH = 12

⇔ yH = 2

D'où xH = -1

H(-1 ; 2)

c) I est le point d'intersection des médiatrices du triangle soit

(IA') ⊥ (BC) et (IB') ⊥ (AC)

A'I(xI + 3/2 ; yI - 1/2) ; BC(-1 ; 5) ; B'I(xI -1 ; yI - 3) ; AC(-6 ; 0)

On a xI + 3/2 = 5 yI - 5/2 et xI = 1

Soit xI = 1 et yI = 1

I(1 ;1)

d)

On a G(1/3 ; 4/3) ; H(-1 ; 2) et I(1 ;1)

D'où IG(-2/3 ; 1/3) IH(2 ; -1)

On note que IH = -3 IG

I, G et H sont donc alignés