Bonsoir,
Soit [tex]B[/tex] la fonction bénéfice, en euros, définie sur l'intervalle [tex][0;25][/tex] par :
[tex]B(x)=-x^{3}+30x^{2} -153x-100[/tex]
1) On en déduit la dérivée de la fonction [tex]B[/tex] :
[tex]B'(x)=-3x^{2}+30\times 2x-153\times 1-0\\B'(x)=-3x^{2} +60x-153[/tex]
Or,
[tex]\Delta=60^{2}-4\times (-3)\times (-153)\\\Delta=1764[/tex]
On a :
[tex]\Delta=1764[/tex] ⇔ [tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{1764} =42[/tex]
Comme [tex]\Delta=1764 > 0[/tex], la dérivée admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{-60-42}{-6} =\dfrac{-102}{-6}=17\\ \\\\x_{2}=\dfrac{-60+42}{-6}=\dfrac{-18}{-6 }=3[/tex]
Ainsi, la dérivée [tex]B'(x)[/tex] est su signe de [tex]a=-3[/tex], c'est-à-dire négatif à l'extérieur des racines et du signe de [tex]-a=3[/tex], c'est-à-dire positif à l'intérieur des racines.
On en déduit alors le tableau de signes présent dans l'énoncé.
2) Grâce à l'étude du signe de la dérivée, on trouve les variations de la fonction [tex]B[/tex].
D'où le tableau de variations de la fonction [tex]B[/tex] :
Valeurs de [tex]x[/tex] 0 3 17 25
Signe de [tex]B'(x)[/tex] - 0 + 0 -
Variations de [tex]B[/tex] [tex]$\searrow[/tex] -316 [tex]$\nearrow[/tex] 1056 [tex]$\searrow[/tex]
3) Grâce au tableau de variations complété, on constate que la fonction [tex]B[/tex], sur l'intervalle [0 ; 25] admet un maximum égal à 1 056, atteint en [tex]x=17[/tex].
Ainsi, cela signifie que le bénéfice maximal journalier atteint les 1 056 euros, pour 17 vélos vendus.
En espérant t'avoir aidé.
