Bonjour,
1.
pour x réel
[tex]f_1(x)=x^4+x^2-1\\\\f_{-1}(x)=-x^4+x^2+1[/tex]
les points d'intersection de ces deux courbes vérifient
[tex]x^4+x^2-1=-x^4+x^2+1 < = > 2x^4=2 < = > x=1 \ ou \ x=-1[/tex]
ce qui donne A(1,1) e B(-1,1)
2.
[tex]f_{m}(1)=m+1-m=1\\\\f_{m}(-1)=m+1-m=1[/tex]
Donc c'est bien le cas.
3.
l'équation de la tangente en A(1,1) est
[tex]y=f_m'(1)(x-1)+f_m(1)=(4m+2)(x-1)+1\\\\=2(2m+1)x-4m-1[/tex]
le coefficient directeur de la droite (OA) est 1
A est bien sur la droite (OA) et A est bien sur les courbes Cm
donc on cherche m pour que 2(2m+1)=1 donc
[tex]2m+1=\dfrac1{2}\\\\m=-\dfrac{1}{4}[/tex]
4. f est dérivable car fonction polynomiale
pour x réel
[tex]f'(x)=4mx^3+2x=2x(2mx^2+1)\\\\f'' (x)=12mx^2+2[/tex]
la dérivée est égale à 0 pour x=0 ou
[tex]2mx^2+1=0 \\\\x^2=\dfrac{-1}{2m}[/tex]
si m>0 il n y a pas de solution
donc f' ne s annule que pour x = 0
et sur IR- f est décroissante et sur IR+ f est croissante donc en x=0 nous avons un minimum de f.
si m<0 nous avons
[tex]x_1=\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\ou\\\\x_0=-\sqrt{\dfrac{-1}{2m}}\\\\[/tex]
nous pouvons faire un tableau de signes pour trouver que
f est croissante pour x plus petit que [tex]x_0[/tex]
f est décroissante entre [tex]x_0[/tex] et 0
f est croissante entre 0 et [tex]x_1[/tex]
et enfin elle est décroissante pour x plus grand que [tex]x_1[/tex]
dans ce cas nous avons deux extremums globaux en [tex]x_0[/tex] et [tex]x_1[/tex].
Pour conclure, nous n avons qu un seul extremum pour m>0.
5.
Nous savons que toutes les courbes Cm passent par le point A
or -1+6-4=1 donc A est bien sur la parabole
cherchons x qui égalise les dérivées en 1
[tex]f'_m(1)=4m+2=-2+6=4\\\\4m =2\\\\m=\dfrac1{2}[/tex]
Donc la réponse est m = 1/2
Merci
