Réponse :
Explications étape par étape :
■ Un = n² - 2n
Uo = 0 ; U1 = -1 ; U2 = 0 ; U3 = 3 ; U4 = 8 ; U5 = 15 ; ...
Un' = 2n - 2 = 2 (n - 1) ≥ 0 pour n ≥ 1 .
la suite (Un) est monotone croissante pour n ≥ 1 .
■ Vn = 2^n - n
Vo = 1 ; V1 = 1 ; V2 = 2 ; V3 = 6 ; V4 = 12 ; V5 = 27 ; ...
Vn+1 - Vn = 2^(n+1) - (n+1) - 2^n + n = 2*2^n - 2^n - 1
= 2^n - 1
2^n - 1 > 0 donne 2^n > 1 donc n > 0 .
(Vn) est monotone croissante pour n ≥ 1 .
■ Wn = (2n-1)/n²
W1 = 1 ; W2 = 0,75 ; W3 = 5/9 ≈ 0,56 ; W4 = 7/16 ≈ 0,44 ; ...
Wn' = [ 2n² - 2n(2n-1) ] / (n^4) = [ 2n - 2n² ] / n^4
= 2n(1-n) / n^4
2n(1-n) < 0 donne 1 - n < 0 donc n > 1 .
(Wn) est monotone décroissante pour n ≥ 1 .
■ Xn = n * 2^n
Xo = 0 ; X1 = 2 ; X2 = 8 ; X3 = 24 ; X4 = 64 ; ...
Xn+1 - Xn = 2(n+1)*2^n - n*2^n
= (n+2)*2^n toujours positif pour n ∈ IN .
(Xn) est monotone croissante pour n ≥ 0 .
■ Yn = 5 - 2/n
Y1 = 3 ; Y2 = 4 ; Y3 = 13/3 ; Y4 = 4,5 ; Y5 = 4,6 ; ... ; Yn tend vers 5 ☺
Yn' = 2/n² toujours positive
(Yn) est monotone croissante pour n ≥ 1 .
■ Tu noteras que j' ai utilisé 2 méthodes :
soit Un+1 - Un ; soit la dérivée Un' .
