Bonjour,
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]$\mathbf{R}[/tex] par [tex]f(x)=4x^{2} -8[/tex].
Alors, le taux d'accroissement de la fonction [tex]f[/tex] entre [tex]2[/tex] et [tex]2+h[/tex] est :
[tex]T_{f}=\dfrac{f(h+2)-f(2)}{h}\\\\T_{f}=\dfrac{(4(h+2)^{2}-8)-(4\times2^{2}-8)}{h}\\ \\T_{f}=\dfrac{4(h^{2}+4h+4)-8-(16-8)}{h} \\\\T_{f}=\dfrac{4h^{2}+16h+16-8-8}{h} \\\\T_{f}=\dfrac{4h^{2}+16h}{h} \\\\T_{f}=\dfrac{h(4h+16)}{h}\\ \\T_{f}=4h+16[/tex]
Or, [tex]\lim\limits_{h\rightarrow0}T_{f}=\lim\limits_{h\rightarrow0}4h+16=4\times0+16=16[/tex]
Or, [tex]16[/tex] est un nombre fini ;
- Ainsi, [tex]f[/tex] est dérivable en 2.
- Le nombre dérivé de [tex]f[/tex] en 2 est 16.
- On a donc [tex]f'(2)=16[/tex]
On a :
[tex]f(x)=4x^{2} -8[/tex]
D'où [tex]f'(x)=4\times2x-0=8x[/tex]
On a aussi : [tex]f(2)=4\times 2^{2}-8=16-8=8[/tex]
Et : [tex]f'(2)=16[/tex]
L'équation réduite de la tangente [tex]T[/tex] à la courbe représentative de [tex]f[/tex] au point d'abscisse [tex]a=2[/tex] est donc :
[tex]y=f'(2)(x-2)+f(2)\\y=16(x-2)+8\\y=16x-32+8\\y=16x-24[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
