Bonjour,
Nous pouvons remarquer que, pour tout x réel
[tex]16-x^2=(4-x)(4+x)[/tex]
Donc pour [tex]x \in ]-4;4[[/tex] la fonction f est bien définie
1.
Développons l'expression
[tex]\dfrac{a}{4-x}+\dfrac{b}{4+x}=\dfrac{a(4+x)+(4-x)b}{(4-x)(4+x)}\\\\=\dfrac{(a-b)x+4(a+b)}{16-x^2}[/tex]
Pour que cette expression soit égale à f(x) nous devons avoir a et b tels que
a-b=0 et 4(a+b)=1
ce qui donne a=b et remplacer dans la deuxième expression 8a=1
Ainsi nous trouvons a = b= 1/8
2.
Soit h définie sur le même intervalle que f telle que, pour x de cet intervalle
[tex]h(x)=\ln(4+x)[/tex]
c'est bien défini car 4+x > 0 sur cet intervalle
h est dérivable sur cet ensemble et
[tex]h'(x)=\dfrac{1}{4+x}[/tex]
de même,
Soit g définie sur le même intervalle que f telle que, pour x de cet intervalle
[tex]g(x)=-\ln(4-x)[/tex]
c'est bien défini car 4-x > 0 sur cet intervalle
g est dérivable sur cet ensemble et
[tex]g'(x)=-\dfrac{-1}{4-x}=\dfrac1{4-x}[/tex]
De ce fait, les primitives de f sur ]-4;4[ sont de la forme, avec k réel quelconque
[tex]\dfrac1{8}*\left(-\ln(4-x)+\ln(4+x) \right)+k\\\\=\dfrac1{8}*\ln\left(\dfrac{4+x}{4-x} \right) +k[/tex]
3.
La contrainte en 0 donne k = 0 donc la primitive recherchée est la fonction qui à x dans ]-4;4[ associe
[tex]\dfrac1{8}*\ln\left(\dfrac{4+x}{4-x} \right)[/tex]
Merci
