Sagot :
1) Df = R
Dg = R - {-2}
2) f’(x) = 2x + 3
f’(x) = 0 si x= -3/2
f’(x) est négatif si x est inférieur à -3/2 et positif si x est supérieur à -3/2
Donc les variations de f sont :
Décroissante entre - infini et -3/2 et croissante entre -3/2 et plus l’infini
4) g’(x) = 1/(x+2)^2
g’(x) est toujours positif sur R-{-2}
g est croissante sur R -{-2}
a) h(x) = x^2 -(-1/(x+2)) :
On met f(x) au même dénominateur que g(x) :
f(x) = x^2 + 3x + 1 = (x^2 +3x + 1)(x+2)/(x+2) =
(x^3 + 3x^2 + x + 2x^2 + 6x +2)/(x+2) =
(X^3 + 5x^2 + 7x + 2)/(x+2)
h(x) = ((x^3 + 5x^2 + 7x + 2)+1)/(x+2)
h(x) = (x^2 + 2x + 1)(x+3)/(x+2)
h(x) = (x+3)(x + 1)^2 / (x+2)
Pour tout x appartenant à R-{-2}
b) signe de h
(x+1)^2 est toujours positif et nul pour x= - 1
(x+3) est nul pour x= - 3, négatif entre - infini et - 3 ; positif entre -3 et + infini
(x + 2) est nul pour x = - 2; négatif entre - infini et - 2 ; positif entre - 2 et + infini.
Donc h(x)
Positif entre - infini et - 2 ; négatif entre - 2 et - 3 ; positif entre - 3 et + infini.
Avec une valeur interdite : -2
c) voir pièce jointe
Dg = R - {-2}
2) f’(x) = 2x + 3
f’(x) = 0 si x= -3/2
f’(x) est négatif si x est inférieur à -3/2 et positif si x est supérieur à -3/2
Donc les variations de f sont :
Décroissante entre - infini et -3/2 et croissante entre -3/2 et plus l’infini
4) g’(x) = 1/(x+2)^2
g’(x) est toujours positif sur R-{-2}
g est croissante sur R -{-2}
a) h(x) = x^2 -(-1/(x+2)) :
On met f(x) au même dénominateur que g(x) :
f(x) = x^2 + 3x + 1 = (x^2 +3x + 1)(x+2)/(x+2) =
(x^3 + 3x^2 + x + 2x^2 + 6x +2)/(x+2) =
(X^3 + 5x^2 + 7x + 2)/(x+2)
h(x) = ((x^3 + 5x^2 + 7x + 2)+1)/(x+2)
h(x) = (x^2 + 2x + 1)(x+3)/(x+2)
h(x) = (x+3)(x + 1)^2 / (x+2)
Pour tout x appartenant à R-{-2}
b) signe de h
(x+1)^2 est toujours positif et nul pour x= - 1
(x+3) est nul pour x= - 3, négatif entre - infini et - 3 ; positif entre -3 et + infini
(x + 2) est nul pour x = - 2; négatif entre - infini et - 2 ; positif entre - 2 et + infini.
Donc h(x)
Positif entre - infini et - 2 ; négatif entre - 2 et - 3 ; positif entre - 3 et + infini.
Avec une valeur interdite : -2
c) voir pièce jointe