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Bonjour,

Soit A(1;-5;3), B(2;-4;4),((-1;-2;2) et D(18;–3;-25)
quatre points de l'espace.
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
b. Déterminer l'aire du triangle ABC.
2. a. Démontrer que le vecteur n(-4;-1;5) est orthogonal
aux deux vecteurs AB et AC.
b. En déduire une équation du plan (ABC).
c. Vérifier que le point H(-2;-8;0) est le projeté orthogonal
de D sur le plan (ABC).
3. a. Déterminer la distance du point D au plan (ABC).
D
b. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1) ABC est rectangle en A si BC²=AB²+AC² (réciproque du th. de Pythagore)

AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²=(2-1)²+(-4+5)²+(4-3)²=3

AC²=(même formule)........................................................=14

BC²=.     "            "      .......................................................=17

Le triangle est rectangle en A

Aire ABC=AB*AC/2=(V3)*(V14)/2=(V42)/2  u.a.

2) Le vecteur n est est perpendiculaire au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs sécants du plan

Les vecAB et vecAC sont sécants  le vec n est perpendiculaire au plan si

les produits scalaires vecn*vecAB=0et vec n*vecAC=0

vecAB(xB-xA=1; yB-yA=1 et zB-zA=1)    vec AB(1; 1; 1)

vecAC(même formule) ............................vecAC(-2; +3; -1)

vec n*vecAB=-4*1+(-1)*1+5*1=0

vec n*vecAC=même formule =0

le vec n(-4; -1; 5) est un vecteur normal pour le plan (ABC)

d'où l'équation du plan -4x-y+5z+d=0

ce plan passe par le point A(1; -5; 3) donc

-4+5+15+d=0 donc d=-16

Equation du plan (ABC) -4x-y+5z-16=0

c) Le point H est le projeté orthogonal de D sur la plan (ABC) si H appartient au plan et si (DH) est perpendiculaire au plan.

H appartient au plan  si -4xH-yH+5zH-16=0

soit +8+8+0+16=0 vrai

Pour vérifier que (DH) est perpendiculaire au plan il suffit de voir si les vecteurs n et DH sont colinéaires

vec n(-4; -1; 5)

vecDH(-20;-5; 25)  on note que vecDH=5 vec n

H est bien le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC)

3a) La distance du point D au plan (ABC) est DH; pour calculer DH

on reprend la formule de la question1 avec les coordonnées de vecDH

DH=V[(-20)²+(-5)²+25²]=V1050=5V42

b)Volume du tétraèdre ABCD=(1/3)aire ABC*DH

 =(1/3)(V42)*5(V42)/2=5*42/6=35u.v.