Bjr
indeed, avec x et y positifs
[tex]0\leq \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=x+y-2\sqrt{x}\sqrt{y}[/tex]
d'où le résultat
Et nous avons égalité uniquement pour V(x)=V(y) donc x =y
Et de la même manière
[tex]0\leq \left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\\\\\left(\sqrt{x+y}\right)^2=x+y\leq x+y+2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\\\\\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex]
il y a égalité uniquement pour V(xy)=0 ce qui donne x=0=y
donc, pour x>0 et y>0
[tex]2\sqrt{xy}\leq x+y=\sqrt{x+y}\sqrt{x+y} < \sqrt{x+y}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)[/tex]
et donc
[tex]2 < \dfrac{ \sqrt{x+y}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=\sqrt{x+y}\left(\dfrac1{\sqrt{x}}+\dfrac1{\sqrt{y}}\right)[/tex]
d'òu le résultat
Merci
