Soit PQR un triangle équilatéral de cîté a et soit I le mileur du segment [PQ].
Démontrer que l'ensemble E des points M du plan vérifiant MP²+MQ²=2a² est le cercle de centre I et passant par R
I milieu de [PQ]
vecIP+vecIQ=vec0
vecIP=-vecIQ
IP=IQ=PQ/2
IP^2=IQ^2=PQ^2/4=a^2/4
MP^2+MQ^2=(vecMI+veIP)^2+(vecMI+vecIQ)^2=
MI^2+2vecMI.IP+IP^2+MI^2+2vecMI.IQ+IQ^2=2MI^2+2.vecMI(IP+IQ)+IP^2+IQ^2
=2MI^2+0+2IP^2=2MI^2+2*(a^2/4)
2MI^2+(a^2/2)=2a^2
MI^2=a^2-(a^2/4)=(3/4)a^2
MI≥0 car distance
MI=√3/2 a
or IR hauteur issue de R dans un triangle équilatéral de côté a= a√3/2
M décrit le cercle de centre I passant par R