Bonjour :))
Introduction : il s'agira ici de rappeler la définition même d'une matrice, la notion d'inversibilité et donner une méthodologie pratique sur l'inversibilité d'une matrice carrée de dimension 2 x 2. Nous expliquerons qu'un système d'équation est résoluble sous forme matricielle en s'appuyant notamment sur un cas d'étude qui t'aidera à comprendre la démarche.
- Qu'est ce qu'une matrice ?
Une matrice représente un tableau de valeurs réelles à n lignes et k colonnes. On peut considérer la notation suivante :
[tex][A]=a_{ij}_{\begin{array}{c} i \in [1...n]\\ j\in [1...k] \end{array}}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk}\end{array}\right)[/tex]
- Inversibilité d'une matrice
Posons A une matrice carrée d'ordre n.
On dira alors que A est inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre similaire à A vérifiant : [tex]AB=BA=I_n[/tex]
Avec In, la matrice identité d'ordre n.
On dira que [tex]B=A^{-1}[/tex].
Exemple :
[tex]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}\ \text{V\'erifions que }A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\\\ \frac{2}{7} & -\frac{1}{7}\end{pmatrix}[/tex]
[tex]AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1\times\frac{3}{7}+2\times\frac{2}{7} & 1\times\frac{2}{7}+2\times-\frac{1}{7} \\\\ 2\times\frac{3}{7}-3\times\frac{2}{7} & 2\times\frac{2}{7}-3\times-\frac{1}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{7}{7} & 0 \\\ 0 & \frac{7}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2[/tex]
Remarque : on peut noter I2 car la matrice identité est de dimension 2 (2 x 2).
- Calcul pratique de l'inverse d'une matrice 2x2
Soit la matrice carrée A :
[tex]A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\ \text{On dira que }A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\\ -c & a\end{pmatrix}\\\\Avec\ det(A)=ad-cb[/tex]
A une matrice carrée d'ordre n inversible, alors l'écriture matricielle AX=B admet une unique solution : [tex]X=A^{-1}B[/tex]
La matrice B doit contenir le même nombre de ligne que de colonnes contenues dans A pour que l'équation soit résoluble.
L'équation matricielle AX=B est réalisable à condition également que le déterminant de A est non nul. Car si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible.
Remarque : un système d'équation à deux équations et deux inconnues (programme de seconde) peut-être résolu sous la forme de l'équation matricielle AX=B.
Cas d'étude on considère le système d'équation (S) suivant :
[tex](S)=\begin{cases}2x-y=8\\x+6y=10\end{cases}[/tex]
Résoudre ce système sous forme matricielle.
[tex]\text{La matrice A doit contenir les valeurs r\'eelles qui se situent}\\\text{devant les variables x et y des deux \'equations.}\\\\\text{La matrice X est une matrice colonne incluant les deux variables x et y.}\\\\\text{La matrice B est la matrice colonne qui contient les valeurs 8 et 10.}[/tex]
[tex]A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 6\end{pmatrix},\ X=\left( \begin{array}{c}x \\y\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{c}10 \\8\end{array} \right)[/tex]
[tex]Det(A)=2\times6-1\times(-1)=13\neq0\\\text{Le d\'eterminant de A est non nul ce qui implique}\\\text{que A est inversible. (Une condition n\'ecessaire est satisfaite.)}[/tex]
[tex]\text{B contient le m\^eme nombre de ligne que de colonne contenue dans A.}\\\\\text{Ces conditions nous permettent de dire que l'\'equation est possible}\\\text{Des solutions existent.}[/tex]
[tex]A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{6}{13} & \frac{1}{13} \\\\ -\frac{1}{13} & \frac{2}{13}\end{pmatrix}[/tex]
[tex]X=\left( \begin{array}{c}x \\y\end{array} \right)=A^{-1}B=\begin{pmatrix} \frac{6}{13} & \frac{1}{13} \\\\ -\frac{1}{13} & \frac{2}{13}\end{pmatrix}.\left(\begin{array}{c}8\\10\end{array}\right)\\\\X=\left( \begin{array}{c}\frac{58}{13} \\\\\frac{12}{13}\end{array} \right)[/tex]
[tex]\text{Les solutions sont donc : }S=[\frac{58}{13},\ \frac{12}{13}][/tex]
Espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation :))
