Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
On te donne la forme générale de f(x); f(x)=(ax+b)e^cx et des valeurs particulières de f(x) ou de sa dérivée f'(x)
Dérivée f'(x)=a(e^cx)+c*(e^cx)*(ax+b)
on factorise (e^cx)
f'(x)=(cax+a+cb)(e^cx)
on sait que:
f(0)=0 donc b*e^0=0 comme e^0=1 b=0
Le coefficient directeur de la tangente en O est égal à 5 donc
f'(0)=5 donc a*e^0=5par conséquent a=5
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=2 est égal à0
donc f'(2)=0 ce qui donne (10c+5)e^2c=0 comme e^2c est >0 il faut que 10c+5=0 d'où c=-1/2
Et on a l'expression de f(x)=5x*(e^-x/2) réponse donnée dans l'énoncé.
Etude de f(x)sur [0;+oo[
Limites si x=0 f(x)=0
si x tend vers +oo, e^-x/2 tend vers 0 donc f(x) tend vers 0+
Dérivée :f'(x)=5*(e^-x/2)-(1/2)5x(e^-x/2)=(-2,5x+5)*(e^-x/2)
on note que f'(x)=0 pour x=2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 2 +oo
f'(x) + 0 -
f(x) 0 Croi f(2) Décroi 0+
f(2)=10/e
B) on te donne la fonction F(x)=20-10(x+2)*e^-x/2
F(0)=20-20e^0 =20-20=0
On ne recherche pas de primitive mais on va seulement vérifier que F(x) est une primitive de f(x) pour cela il suffit de dériver F(x) pour voir que l'on retrouve f(x)
F'(x)=-10[1*e^-x/2-(1/2)(x+2)*e^-x/2]=(e^-x/2)(-10+5x+10)=5x*(e^-x/2)
F'(x)=f(x)