Bonjour,
1) Les points A, B et C sont alignés donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires.
On calcule les coordonnées des vecteurs :
[tex]\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}=2-(-5)=2+5=7 \\y_{B}-y_{A}=-4-9=-13\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix}x_{C}-x_{A}=x_{C}-(-5)=x_{C}+5 \\y_{C}-y_{A}=3-9=-6\end{pmatrix}[/tex]
SSI [tex]det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0[/tex]
SSI [tex]7\times (-6)-(x_{C}+5)\times (-13)=0[/tex]
SSI [tex]-42+13x_{C}+65=0[/tex]
SSI [tex]13x_{C}+23=0[/tex]
SSI [tex]13x_{C}=-23[/tex]
SSI [tex]x_{C}=\frac{-23}{13}[/tex]
D'où le réel [tex]x[/tex] à trouver est [tex]-\frac{23}{13}[/tex].
2) On admet la droite [tex](AB)[/tex] qui a une équation de droite de la forme [tex]mx+p[/tex].
[tex]m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{-4-9}{2-(-5)}=\frac{-13}{7}[/tex]
Donc [tex]y_{AB}=-\frac{13}{7} x+p[/tex]
Le point [tex]B(2;-4)[/tex] appartient à la droite [tex](AB)[/tex]. Donc ses coordonnées vérifient l'équation :
[tex]y_{B}=-\frac{13}{7} x_{B}+p[/tex]
⇔ [tex]-4=-\frac{13}{7}\times 2+p[/tex]
⇔ [tex]-p=-\frac{26}{7}+4[/tex]
⇔ [tex]-p=-\frac{26}{7}+\frac{28}{7}=\frac{2}{7}[/tex]
⇔ [tex]p=-\frac{2}{7}[/tex]
D'où [tex]y_{AB}=-\frac{13}{7}x-\frac{2}{7}[/tex]
Comme le point [tex]K(x_{K};y_{K})[/tex] est l'intersection de droite de [tex](AB)[/tex] et de l'axe des abscisses, on a [tex]y_{K}=0[/tex].
Le point [tex]K(x_{K};0)[/tex] appartient à la droite [tex](AB)[/tex]. Donc ses coordonnées vérifient l'équation :
[tex]y_{K}=-\frac{13}{7} x_{K}-\frac{2}{7}[/tex]
⇔ [tex]0=-\frac{13}{7}x_{K}-\frac{2}{7}[/tex]
⇔ [tex]-\frac{13}{7}x_{K}=\frac{2}{7}[/tex]
⇔ [tex]x_{K}= \frac{2}{7}\times (-\frac{7}{13})=-\frac{2}{13}[/tex]
D'où [tex]K(-\frac{2}{13};0)[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
