Bonjour,
Je note l'exponontielle de x : exp(x)
1) exp(-kx) >0 ⇔ 1 + exp(-kx) > 1 ⇔ 1/(1+exp(-kx) < 1
d'autre part 1 + exp(-kx) > 1 > 0 donc 1/(1+exp(-kx) > 0
fk est donc minorée par 0 et majorée par 1
2) f1(x) = 1 / (1 + exp(-x)) = exp(x) / (exp(x) + exp(x) * exp(-x)) = 1 / (1 + exp(x))
3) on a exp(x) > 0 et 1 + exp(x) > 0 donc f1'(x) > 0
f1 est donc une fonction strictement croissante.
4) ∀ x ∈ IR f1(x) + f-1(x) = exp(x) / (1 + exp(x)) + 1 / (1 + exp(x))
= (1 + exp(x))/(1+exp(x)) = 1
5) Soit M(a;b) un point du plan. Son symétrique M'(a';b') par rapport à la droite d'équation y = ½ vérifie:
a'=a et (y + y') / 2 = ½ soit y' = 1 - y
(car (y+y')/2 est l'abscisse du milieu du segment [MM'])
Soit M un point de la courbe de C1
Les coordonnées de M sont (x ; f1(x))
Le symétrique de M par rapport à la droite d'équation y = 1/2 est M'(x; 1 - f1(x)) soit M'(x ; f-1(x)) d'après la question précédente.
Ce point appartient à la courbe C-1
c. je vous laisse construire la courbe symétrique de C1 par rapport à la droite rouge...