Réponse :
Il y a plusieurs façons, mais pour allier plusieurs notions du programme on peut faire ça:
A sa naissance, Mr Patate a 0 année.
Soit Uo = 0
Chaque année, il souffle une bougie supplémentaire.
Donc [tex]U_{n+1}[/tex] = Un + 1
La forme explicite d'une suite arithmétique est de la forme Un = Uo+nr.
Or r = 1 (car on ajoute 1 chaque année) et Uo = 0.
D'où:
Un = 0 + 1n = n
0+1+2+3+...+n est le nb de bougies que mr Patate a soufflées au long de sa vie. On appelle Sn cette somme. On sait que Sn = 1540.
D'après la somme des termes d'une suite arithmétique, on a:
[tex]S_{n}=(n+1)\frac{Uo + Un}{2}[/tex]
Or Un = n
Donc on a : [tex]S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}=1540[/tex]
On résout l'équation:
[tex]\frac{n(n+1)}{2}=1540[/tex] ⇔ [tex]n^{2}+n =1540*2=3080[/tex] ⇔ [tex]n^{2} +n-3080=0[/tex]
On applique le discriminant: Δ = b² - 4ac avec a=b=1 et c= -3080
Donc Δ = 1 - 4*(-3080) = 12321 (comme Δ>0, on a deux solutions sur R).
[tex]x_{1}=\frac{-b+\sqrt{12321} }{2a}= \frac{-1+\sqrt{12321} }{2}=55 \\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{12321} }{2a}= \frac{-1-\sqrt{12321} }{2}=-56[/tex]
Or -56 n'est pas un âge, donc Mr Patate avait 55 ans à la fin de sa vie.
(Dites-moi s'il y a des notions que vous n'avez pas encore vuues...)
Bonne soirée !