Bonsoir,
a.
On a (IC) // (DJ) et IC = DJ = 1/2
DCIJ est donc un parallélogramme.
De plus, DCI est un angle droit
DCIJ est donc un rectangle
D'ou IJ = CD = 1
M et N appartiennent au cercle de centre I et de rayon IJ = 1
On en déduit que IM = IN = 1
D'autre part, ICM est un triangle rectangle en C
D'après le th. de Pythagore:
IM² = IC² + MC²
⇔ MC² = IM² - IC² = 1² - (½)² = 1 - 1/4 = 3/4
⇔ MC = √3 / 2
b. On peut démontrer de la même façon que NB = √3 / 2 = MC
de plus (NB)// (MC) et MCB est un angle droit. Donc MCBN est un rectangle. D'où MN = CB = 1
D'autre part, IM = IN = 1 (d'après la réponse 1.)
On en déduit que IM = IN = MN = 1
Le triangle IMN est donc équilatéral.
c. IMN est éauilatéral donc MIN = IMN = INM = 60°
d. L'aire d'un disque de rayon 1 est π * 1² = π.
On en déduit que l'aire du secteur de disque IMN (qui mesure 60°, soit 1/6 du disque) est égal à π/6
D'autre pare l'aire de ICM = Aire de IBN = IC * CM / 2
= IB * BN / 2 = ½* (√3 / 2) /2 = √3 / 8
L'aire de la zone bleue est donc π/6 + 2 * √3 / 8 = (π/6) + (√3 / 4)
e. Aire de la partie Orange = 1² - ((π/6) + (√3 / 4))
= (12 - 2π - 3√3)/12
