Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Partie A :
1)
a)
f(x)=-4x+20ln(x)
f '(x)=-4+(20/x)
On réduit au même déno :
f '(x)=(-4x+20)/x
b)
Sur [1;12], le dénominateur est > 0 donc f ' (x) est du signe de (-4x+20).
-4x+20 > 0 ==> x < 5
Variation :
x------->1...................5..................12
f '(x)--->............+......0.........-..........
f(x)---->f(1).....C........f(5).....D.......f(12)
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend
f(1)=-3
f(5) ≈ 13.189
f(12) ≈ 2.698
2)
a)
Sur [1;5] , la fct f(x) est continue et strictement croissante , passant d'une valeur négative égale à -3 pour x=1 à une valeur positive ≈ 13.189 pour x=5. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α telq ue f(α)=8.
b)
La calculatrice donne :
α ≈ 2.21
car f(2.20) ≈ 7.9691 et f(2.21) ≈8.0199
3)
a)
Il nous faut la dérivée de 20x*ln(x) qui est de la forme u*v.
u=20x donc u'=20
v=ln(x) donc v'=1/x
(20x*ln(x))'=u'v+uv'=20*lnx+(20x/x)=20*ln(x)+20
Donc :
F '(x)=-4x-19+20*ln(x)+20
F '(x)=-4x+1+20*ln(x)=f(x)
b)
ln8=ln(2^3)=3ln2
F(8)=-2*8²-19*8+20*8*3*ln(2)
Donc :
F(8)=-280+480ln(2)
ln(4)=2ln(2)
F(4)=-2*4²-19*4+20*4*2ln(2)
F(4)=-108+160ln(2)
b)
[F(8)-F(4)]/4=[-280+480ln(2)+108-160ln(2)] / 4
[F(8)-F(4)]/4=(-172+320ln(2)) /4
[F(8)-F(4)]/4=-43 + 80ln(2)
Partie B :
1)
D'après la partie A , 1)b) , il faut fabriquer 500 pièces.
f(5) ≈ 13.189 milliers d'€ soit 13189 €.
2)
On doit résoudre :
-4x + 1 +20ln(x) > 8
D'après 2b et le tableau de variation de f(x) , il faut fabriquer entre 221 et 951 pièces.
3)
-43 + 80ln(2) ≈ 12.452
Bénéfice moyen: 12 452 € environ.
